WikiSort.ru - Не сортированное

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, ${\displaystyle L^{\infty }}$ и другие.

Определение

Полное метрическое пространство называется инъективным, когда коллекция шаров в нём пересекается, если любые два шара в этой коллекции пересекаются.

Примеры

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал.
• Пространство функций на любом пространстве с sup-нормой (инъективная оболочка).
• Любое метрическое дерево.

Свойства

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений.
  • Иначе говоря, пространство ${\displaystyle X}$ является инъективным, если для любых двух коротких отображений ${\displaystyle f\colon A\to X}$ и ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ существует короткое отображение ${\displaystyle g\colon B\to X}$ такое, что ${\displaystyle f=g\circ \phi }$ .
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.

Ссылки

• Isbell, J. R. (1964). “Six theorems about injective metric spaces”. Commentarii Mathematici Helvetici. 39: 65—76. DOI:10.1007/BF02566944.