WikiSort.ru - Не сортированное

Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году.^[1] Позже была переоткрыта несколько раз.^[2][3]

Построение

На данном метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ рассматриваются все функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такие, что

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для любых ${\displaystyle x,y\in M}$ ,

для любого ${\displaystyle x\in M}$ существует ${\displaystyle y\in M}$ такое, что ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Полученное метрическое пространство ${\displaystyle W}$ называется инъективной оболочкой ${\displaystyle M}$ .

Свойства

• Инъективная оболочка является инъективным пространством.
• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.

Примечания