WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 февраля 2017 года.

Два множества ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n}}$ называются изометрически эквивалентными, если существует движение ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ , переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$ . то есть${\displaystyle f(A)=B}$ .

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и, в частности, на любом подмножестве ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Например, если ${\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})}$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1}$   — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, ${\displaystyle 0<b\leq a}$ ;
•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=1}$   — двупараметрическое семействогипербол, ${\displaystyle 0<b\leq a}$ ;
•    ${\displaystyle y^{2}=2px}$   — однопараматрическое семейство парабол, ${\displaystyle 0<p}$ ;
•    ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=-1}$   — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, ${\displaystyle 0<b\leq a}$ .

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик