WikiSort.ru - Не сортированное

Исаак Ньютон получил две классификации кубик^{[1] [2]}. Основываясь на второй классификации^[2] была получена аффинная классификация кубик^[3]. Эта классификация описана в следующей теореме.

Теорема. Существуют 59 семейств аффинных классов эквивалентности неприводимых кубик: 15 классов модальности 0;  23 семейства (классов) модальности 1;  16 семейств модальности 2;  5 семейств модальности 3;  эти семейства представлены в следующем списке канонических уравнений.

Порядок перечисления семейств аффинных классов принадлежит Ньютону, для удобства он сохранён в этом списке. В каждом пункте списка указана размерность множества кубик, принадлежащих этому семейству аффинных классов. Например, каждая кубика аффинного класса с номером 1.1 аффинно эквивалентна кубике   ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ ,   множество кубик этого класса в пространстве   ${\displaystyle \mathbb {R} P^{9}}$   всех кубик имеет размерность   ${\displaystyle \dim =5}$ ,   а каждая кубика семейства аффинных классов с номером 1.7 аффинно эквивалентна одной из кубик однопараметрического семейства   ${\displaystyle (x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0}$ , где   ${\displaystyle 0<a<2}$ ,   множество кубик этого семейства в пространстве   ${\displaystyle \mathbb {R} P^{9}}$   всех кубик имеет размерность   ${\displaystyle \dim =7}$ .

Классы, полученные из кубики с точкой возврата, см. рис. 1.

1.1.   ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ ;  ${\displaystyle \dim =5}$ .

1.2.   ${\displaystyle y=x^{3}}$ ;  ${\displaystyle \dim =5}$ .

1.3.   ${\displaystyle x^{2}y=1}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

1.4.   ${\displaystyle x^{2}y=1-x}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

1.5.   ${\displaystyle (x-1)y^{2}+x^{3}=0}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

1.6.   ${\displaystyle (x+1)y^{2}=x^{3}}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

1.7.   ${\displaystyle (x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0}$ ,   где ${\displaystyle 0<a<2}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

1.8.   ${\displaystyle y^{2}-x^{2}y-x^{3}=0}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

1.9.   ${\displaystyle (x+1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0}$ ,   где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

Классы, полученные из кубики с петлёй, см. рис. 2.

2.1.   ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$ ;   ${\displaystyle \dim =6}$ .

2.2.   ${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.3.   ${\displaystyle \left(1-x\right)y^{2}=x^{2}}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

2.4.   ${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(1-x\right)}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

2.5.   ${\displaystyle (x+1)(x-1)y+1=0}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

2.6.   ${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.7.   ${\displaystyle \left(x-1\right)y^{2}=bx(x+a)(y-x)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$   и  ${\displaystyle 0\leq b<4}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

2.8.   ${\displaystyle (x-1)y^{2}=ax(y-x)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.9.   ${\displaystyle xy=(x-1)^{3}}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

2.10.   ${\displaystyle (x-1)y^{2}=ax(y-x)}$ ,  где ${\displaystyle a<-4}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.11.   ${\displaystyle \left(1-x\right)y^{2}=bx\left(x-a\right)\left(y-x\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$   и  ${\displaystyle b>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

2.12.   ${\displaystyle (x+1)(x-a)y+x=0}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.13.   ${\displaystyle (x+1)(x-a)y+x^{2}=0}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$   и  ${\displaystyle a\neq 1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

2.14.   ${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}-bx^{2}y=x^{2}\left(x+1\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$   и  ${\displaystyle b>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

Классы, полученные из кубики с изолированной точкой, см. рис. 3, где кубики семейств с номерами 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 имеют изолированную точку в начале координат ${\displaystyle O=(0,0)}$ , а кубики семейств с номерами 3.3 и 3.9 имеют изолированную тоску в точке пересечения прямой ${\displaystyle x=0}$ и бесконечно удалённой прямой ${\displaystyle z=0}$ , т.е. в точке с проективными координатами ${\displaystyle (0:1:0)}$ .

3.1.   ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

3.2.   ${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.3.   ${\displaystyle (x^{2}+1)y=x^{2}}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

3.4.   ${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=-x^{2}\left(x+1\right)}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.5.   ${\displaystyle \left(x+1\right)y^{2}=-x^{2}}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

3.6.   ${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<{\frac {1}{3}}}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.7.   ${\displaystyle \left(3x+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)}$ ;  ${\displaystyle \dim =6}$ .

3.8.   ${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)}$ ,  где ${\displaystyle a>{\frac {1}{3}}}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.9.   ${\displaystyle y(x^{2}+ax+1)=x}$ ,  где ${\displaystyle 0\leq a<2}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.10.     ${\displaystyle (1-x)y^{2}+bx(x-a)(y-x)=0}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1}$   и   ${\displaystyle 0<b<4}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

3.11.   ${\displaystyle (x+1)y^{2}+ax(y+x)=0}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<4}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

3.12.   ${\displaystyle \left(x+1\right)y^{2}-bx(x-a)(y+x)=0}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ,  ${\displaystyle b>0}$   и  ${\displaystyle a<{\frac {(a+1)(b+2-{\sqrt {b^{2}+4b}})}{2(b+4)-(a+1)\left(b+2+{\sqrt {b^{2}+4b}}\right)}}}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

Классы, полученные из простой кубики, см. рис. 4.

4.1.   ${\displaystyle y^{2}=x\left[\left(x-a\right)^{2}+1\right]}$ ,  где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

4.2.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x+a)\left[\left(x-b\right)^{2}+1\right]}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$   и  ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

4.3.   ${\displaystyle xy^{2}=-\left[\left(x-a\right)^{2}+1\right]}$ , где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

4.4.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x-a)\left[\left(x-b\right)^{2}+1\right]}$ , где ${\displaystyle a>0}$  и ${\displaystyle b<{\frac {a^{2}-4}{4a}}}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

4.5.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x-a)\left[\left(x-{\frac {a^{2}-4}{4a}}\right)^{2}+1\right]}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

4.6.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x-a)\left[\left(x-b\right)^{2}+1\right]}$ , где ${\displaystyle a>0}$  и ${\displaystyle b>{\frac {a^{2}-4}{4a}}}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

4.7.   ${\displaystyle xy^{2}=c[(x-a)^{2}+1](y+x-b)}$ ,  где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ,  ${\displaystyle b\geq 0}$   и  ${\displaystyle -4<c<0}$ ;  ${\displaystyle \dim =9}$ .

4.8.   ${\displaystyle xy^{2}=-4[(x-a)^{2}+1](y+x-b)}$ ,  где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ,  ${\displaystyle b\geq 0}$   и  ${\displaystyle b\neq 2a}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

4.9.   ${\displaystyle xy^{2}=c[(x-a)^{2}+1](y+x-b)}$ ,  где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ,  ${\displaystyle b\geq 0}$ ,  ${\displaystyle {\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac-2b}$ ,  ${\displaystyle 0<c<2\left[a^{2}-ab+1+{\sqrt {(a^{2}-ab+1)^{2}+b^{2}}}\right]}$ ,  ${\displaystyle {\frac {ac+2b+{\sqrt {(ac+2b)^{2}-c(c+4)(a^{2}+1)}}}{c+4}}<{\frac {(c+4)(a^{2}+1)(\beta -b)}{(2a-b)^{2}-(c+4)(a^{2}+1)(\alpha +1)}}}$ ,  ${\displaystyle {\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac+2b}$ ,  ${\displaystyle \alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}}$   и   ${\displaystyle \beta =-c\left[a-{\frac {a(c+2)+b}{\sqrt {c^{2}+4c}}}\right]}$ ;  ${\displaystyle \dim =9}$ .

Классы, полученные из кубики с овалом, см. рис. 5.

5.1.   ${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x+a)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

5.2.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x+a)(x+b)}$ ,  где ${\displaystyle 1<a<b}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.3.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x+a)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

5.4.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x+a)(x+1)(x-b)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$   и  ${\displaystyle b>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.5.   ${\displaystyle xy^{2}=(x+1)(x-a)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

5.6.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x+1)(x-a)(x-b)}$ , где ${\displaystyle 0<a<b}$ ; ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.7.   ${\displaystyle xy^{2}=-(x-1)(x-a)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ;   ${\displaystyle \dim =7}$ .

5.8.   ${\displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)(x-b)}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1<b}$  и ${\displaystyle b>({\sqrt {a}}+1)^{2}}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.9.   ${\displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)[x-({\sqrt {a}}+1)^{2}]}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1}$ ;  ${\displaystyle \dim =7}$ .

5.10.   ${\displaystyle xy^{2}=(x-a)(x-1)(x-b)}$ ,  где ${\displaystyle 0<a<1<b}$   и  ${\displaystyle b<({\sqrt {a}}+1)^{2}}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.11.   ${\displaystyle xy^{2}=c(x+1)(x+a)(x+y-b)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$ ,  ${\displaystyle b>-1}$   и  ${\displaystyle -4<c<0}$ ;  ${\displaystyle \dim =9}$ .

5.12.   ${\displaystyle xy^{2}=b(x+1)(x+y-a)}$ ,  где ${\displaystyle a>-1}$   и  ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.13.   ${\displaystyle xy^{2}=c(x+1)(x-a)(x+y-b)}$ ,  где ${\displaystyle a>0}$ ,  ${\displaystyle -1<b<a}$   и  ${\displaystyle c>0}$ ;  ${\displaystyle \dim =9}$ .

5.14.   ${\displaystyle xy^{2}=-4(x+1)(x+a)(x+y-b)}$ ,  где ${\displaystyle a>1}$   и  ${\displaystyle b>-1}$ ;  ${\displaystyle \dim =8}$ .

5.15.   ${\displaystyle xy^{2}=c(x-a)(x-1)(x+y-b)}$ ,   где ${\displaystyle 0<a<1<b}$ ,  ${\displaystyle c>0}$ ,  ${\displaystyle {\frac {ac\left(\beta -b\right)}{\beta ^{2}-c\left[a\left(\alpha +1\right)-(a+1)\left(\beta -b\right)\right]}}>{\frac {c(a+1)+4b+{\sqrt {\mathcal {D}}}}{2(c+4)}}}$ ,  ${\displaystyle {\mathcal {D}}=[c(a-1)+4b]^{2}+16c(b-a)}$ ,   ${\displaystyle \alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}}$ ,  ${\displaystyle \beta ={\frac {c\left[b+(a+1)\left(\alpha +1\right)\right]}{c-2\alpha }}}$ ;  ${\displaystyle \dim =9}$ .

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Изометрическая эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона

Литература