WikiSort.ru - Не сортированное

Случай известной дисперсии

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\sigma ^{2}$ — известная дисперсия. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$ .

Утверждение. Случайная величина

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

имеет стандартное нормальное распределение $\mathrm {N} (0,1)$ . Пусть $z_{\alpha }$ — $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha

.

После подстановки выражения для $Z$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu ,\sigma ^{2}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$ .

Утверждение. Случайная величина

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

,

имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы $\mathrm {t} (n-1)$ , где $S$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение. Пусть $t_{\alpha ,n-1}$ — $\alpha$ -квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\right)=1-\alpha

.

После подстановки выражения для $T$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

.

Это заготовка статьи по статистике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии