WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,^[1] утверждающая, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\ }$

где ${\displaystyle p_{n}}$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.}$

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$ . Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.^[1]

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})}$

предполагая истинной гипотезу Римана.^[1]

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .}$

Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.^[3]

В вероятностной модели,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,}$ с ${\displaystyle c=1.}$

Но константа ${\displaystyle c}$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа ${\displaystyle c=2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots .}$ ^[4], где ${\displaystyle \gamma }$  — постоянная Эйлера.

В работе ^[5] М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния ${\displaystyle G(x)}$ между последовательными простыми числами меньшими ${\displaystyle x}$ . Формула Вольфа выражает ${\displaystyle G(x)}$ через функцию распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$ :

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln(\pi (x))-\ln(x)+c_{0}),}$

где ${\displaystyle c_{0}=\ln(C_{2})=0.2778769...}$ , а ${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$ есть удвоенная константа простых-близнецов.

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми.^[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

${\displaystyle R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Oн писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрики — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми