Гипотеза Каратеодори — это математическая гипотеза, приписываемая Константину Каратеодори, которую Ганс Людвиг Гамбургер высказал на сессии Берлинского Математического Общества 1924[1]. Каратеодори публиковал статьи на это тему[2], но никогда не приводил гипотезу в своих сочинениях. Джон Идензор Литлвуд в своей книге[3] упоминает гипотезу и вклад Гамбургера[4][5][6] как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Ян Стройк описывает в своей статье[7] формальную аналогию гипотезы с теоремой о четырёх вершинах для плоских кривых. Современные ссылки на гипотезу — список проблем Яу Шинтуна[8], книги Марселя Берже[9][10], а также книги Николаева[11], Стройка[12], Топоногова[13] и Алексеевского, Виноградова, Лычагина[14].
Математическое содержание
Гипотеза утверждает, что любая выпуклая замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве содержит по меньшей мере две омбилические точки (точки округления). По этой гипотезе сфероид с двумя точками округления и сфера, все точки которой являются точками округления, являются примерами с минимальным и максимальным числом точек округления. Чтобы гипотеза была корректно поставлена или точки округления были корректно определены, поверхность должна быть по меньшей мере дважды дифференцируемой.
Математические исследования в направлении оценки индекса изолированной омбилической точки для вещественных аналитических поверхностей
Была заявка Стефана Кон-Фоссена[15] на Международный конгресс математиков 1928 в Болонье и в издании 1929 года третьего тома книги «Дифференциальная геометрия»[16] Вильгельм Бляшке писал:
Пока книга готовилась к печати Кон-Воссен смог доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашённый доклад на ICM в Болонье 1928). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что поверхности дожны иметь по меньшей мере две омбилики.
Здесь индекс Бляшке равен удвоенному обычному индексу омбилической точкой и глобальная гипотеза следует из теоремы Пуанкаре о векторном поле. Никаких статей не было издано Кон-Воссеном до Международного Конгресса, а в дальнейших переизданиях книги Бляшке вышеупомянутые комментарии были удалены. Отсюда логично сделать вывод, что работа была неубедительной.
Для аналитических поверхностей утвердительный ответ для гипотезы дал в 1940 Ганс Людвиг Гамбургер в длинной статье, опубликованной в трёх частях[4][5][6]. Подход Гамбургера основывался также на оценке индексов изолированных омбилических точек, из которой, как он показал в более ранних работах[17][18], вытекает гипотеза Каратедори. В 1943 Джеррит Бол предложил более короткое доказательство[19] (см. также Бляшке[20]), но в 1959 Тилла Клотц[21] нашла и исправила пробел в доказательстве Бола[4][5][6]. Её доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ганспетера Шербела[22] (никаких результатов, связанных с гипотезой Каратеодори, Шербел не опубликовал, по меньшей мере до июня 2009). Среди других публикаций следует упомянуть работы Титуса[23], Сотомайора и Мелло[24], Гутьереса[25].
Все упомянутые выше доказательства основываются на сведении Гамбургера гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс любой изолированной омбилической точки не превосходит единицы[17]. Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении сингулярности, генерируемой точками округления. Все упомянутые выше авторы разрешают сингулярность индукцией по «степени вырождения» точки округления, но ни один из авторов не описал процесс индукции ясно.
В 2002 Владимир В. Иванов просмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям и написал следующее[26]:
Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь.
Сначала он проследовал по пути, предложенному Герритом Болом и Тиллой Клотц, но позднее он предложил свой собственный путь разрешения сингулярности, в котором критическое значение принадлежит комплексному анализу (более точно, технике, использующей аналитические неявные функции, подготовительную теорему Вейерштрасса[en], ряд Пюизё и циркулярные системы корней).
Математические исследования по исходной глобальной гипотезе для гладких поверхностей
В 2008 Гилфойл и Клингенберг объявили о доказательстве глобальной гипотезы для поверхностей гладкости C3,\alpha. Их метод использует нейтральную кэлерову геометрию квартики Клейна, поток средней кривизны, теорему Римана — Роха об индексе и теорему Сарда — Смейла на регулярных значениях операторов Фредхольма[27]. Однако их статья так и не была опубликована[28].
В 2012 Гхоми и Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса, что глобальная гипотеза для поверхностей с гладкостью C2 может быть переформулирована в терминах числа омбилических точек графиков некоторых асимптотик градиентов[29].
См. также
Примечания
- ↑ Hamburger, 1924.
- ↑ Wrocław University, 1935.
- ↑ Littlewood, 2011.
- 1 2 3 Hamburger, 1940, с. 63—86.
- 1 2 3 Hamburger, 1941, с. 175—228.
- 1 2 3 Hamburger, 1941, с. 229—332.
- ↑ Struik, 1931, с. 49—62.
- ↑ Yau, 1982.
- ↑ Berger, 2003.
- ↑ Berger, 2010.
- ↑ Nikolaev, 2001.
- ↑ Struik, 1978.
- ↑ Топоногов, 2012.
- ↑ Алексеевский, Виноградов, Лычагин, 1988.
- ↑ Cohn-Vossen, 1929.
- ↑ Blaschke, 1929.
- 1 2 Hamburger, 1922, с. 258 – 262.
- ↑ Hamburger, 1924, с. 50 – 66.
- ↑ Bol, 1944, с. 389—410.
- ↑ Blaschke, 1945, с. 201–208.
- ↑ Klotz, 1959, с. 277—311.
- ↑ Scherbel, 1993.
- ↑ Titus, 1973, с. 43—77.
- ↑ Sotomayor, Mello, 1999, с. 49—58.
- ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998, с. 291—322.
- ↑ Иванов, 2002, с. 315.
- ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013.
- ↑ Ghomi, 2017.
- ↑ Ghomi, Howard, 2012, с. 4323—4335.
Литература
- Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 210. Sitzung am 26. März 1924. — Göttingen: Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, 1924.
- Einfache Bemerkungen über Nabelpunktskurven // Festschrift 25 Jahre Technische Hochschule Breslau zur Feier ihres 25jährigen Bestehens, 1910—1935. — Breslau: W. G. Korn, 1935. — С. 105 – 107.
- Constantin Carathéodory. Gesammelte Mathematische Schriften. — München: C. H. Beck, 1957. — Т. 5. — С. 26–30.
- Cohn-Vossen S. Der Index eines Nabelpunktes im Netz der Krümmungslinien // Proceedings of the International Congress of Mathematicians / Nicola Zanichelli Editore. — Bologna, 1929. — Т. II.
- Blaschke W. Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln, Vorlesungen über Differentialgeometrie. — Berlin: Springer-Verlag, 1929. — Т. 3. — С. XXIX. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).
- Littlewood J.E. A mathematician's miscellany. — Nabu Press, 2011. — ISBN 978-1179121512.
- Hamburge H. Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. I // Ann. Math.. — 1940. — Т. 41. — С. 63—86.
- Hamburge H. Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. II // Acta Math.. — 1941. — Т. 73. — С. 175—228.
- Hamburge H. Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. III // Acta Math.. — 1941. — Т. 73. — С. 229—332.
- Struik D. J. Differential Geometry in the large // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1931. — Т. 37, вып. 2. — С. 49—62. — DOI:10.1090/S0002-9904-1931-05094-1.
- Yau S. T. Problem Section // Seminar on Differential Geometry / ed. S.T. Yau. — Princeton, 1982. — Т. 102. — С. 684. — (Annals of Mathematics Studies).
- Berger M. A Panoramic View of Riemannian Geometry. — Springer, 2003. — ISBN 3-540-65317-1.
- Berger M. Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry. — Springer, 2010. — ISBN 3-540-70996-7.
- Nikolaev I. Foliations on Surfaces // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. — Springer, 2001. — Т. 3. — (Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics). — ISBN 3-540-67524-8.
- Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry. — Dover, 1978. — ISBN 0-486-65609-8.
- Toponogov V. A. Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. — Boston: Birkhäuser, 2006. — ISBN 978-0-8176-4402-4.
- Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — 2012. — ISBN 9785891552135.
- R.V. Gamkrelidze (Ed.). Geometry I: Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. — Springer, 1991. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 0-387-51999-8.
- Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии / составитель Гамкрелидзе Р.В.. — М., 1988. — Т. 28. — С. 5-289. — ((Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) «Современные проблемы математики, Фундаментальные направления»).
- Hamburger H. Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen // Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1922. — Т. 21. — С. 258 – 262.
- Hamburge H. Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschossenen Flächen // Math. Z.. — 1924. — Т. 19. — С. 50 – 66.
- Bol G. Über Nabelpunkte auf einer Eifläche // Math. Z.. — 1944. — Т. 49. — С. 389—410.
- Blaschke W. Sugli ombelichi d'un ovaloide // Atti Convegno Mat. Roma 1942. — 1945. — С. 201–208.
- Tilla Klotz. On G. Bol's proof of Carathéodory's conjecture // Commun. Pure Appl. Math.. — 1959. — Т. 12. — С. 277—311.
- Scherbel H. A new proof of Hamburger's index theorem on umbilical points. — ETH Zürich, 1993. — (Dissertation no. 10281).
- Titus C. J. A proof of a conjecture of Loewner and of the conjecture of Carathéodory on umbilic points // Acta Math.. — 1973. — Т. 131, вып. 1—2. — С. 43—77.
- Sotomayor J., Mello L. F. A note on some developments on Carathéodory conjecture on umbilic points // Exposition Math.. — 1999. — Т. 17, вып. 1. — С. 49—58. — ISSN 0723-0869.
- Gutierrez C., Sotomayor J. Lines of curvature, umbilic points and Carathéodory conjecture. — 1998. — Т. 3. — С. 291—322.
- Иванов В. В. Аналитическая гипотеза Каратеодори. — 2002. — Т. 43. — С. 251—322. — DOI:10.1023/A:1014797105633.
- Guilfoyle B., Klingenberg W. Proof of the Carathéodory Conjecture. — 2013.
- M. Ghomi. Open problems in geometry of curves and surfaces. — 2017.
- Ghomi M., Howard R. Normal curvatures of asymptotically constant graphs and Carathéodory's conjecture. — 2012. — Т. 140. — С. 4323-4335. — (Proc. Amer. Math. Soc.).
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .