WikiSort.ru - Не сортированное

В трёхмерном пространстве

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ поверхность задана уравнением ${\displaystyle r=r(u,v),}$ где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ ― внутренние координаты на поверхности; ${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$ ― дифференциал радиус-вектора ${\displaystyle r}$ вдоль выбранного направления смещения из точки ${\displaystyle M}$ в бесконечно близкую точку ${\displaystyle M'}$ ; ${\displaystyle n}$ — нормальный вектор к поверхности в точке ${\displaystyle M}$ . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},}$

где коэффициенты определяются формулами:

${\displaystyle L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

где ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ обозначает смешанное произведение векторов и ${\displaystyle E=|r_{u}|^{2},}$ ${\displaystyle F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,}$ ${\displaystyle G=|r_{v}|^{2}}$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами ${\displaystyle x,y,z}$ , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

${\displaystyle L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.}$

Многомерный случай

Рассмотрим k-мерную поверхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ . Пусть ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{k}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ — локальная карта поверхности в точке ${\displaystyle P}$ , то есть локально поверхность задается системой m уравнений ${\displaystyle r=r(u_{1},\ldots ,u_{k}),}$ и ${\displaystyle {n}}$ — нормальный вектор к поверхности в точке ${\displaystyle P}$ .

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

${\displaystyle q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,k.}$

Большая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определятся также и для подмногообразий произвольной коразмерности.

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}$

где ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$ обозначает проекцию ковариантной производной ${\displaystyle \nabla _{v}w}$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие ${\displaystyle N}$ вложено в риманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ тогда тензор кривизны ${\displaystyle R_{N}}$ многообразия ${\displaystyle N}$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ объемлющего многообразия ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$