WikiSort.ru - Не сортированное

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция ${\displaystyle U(M)}$ , заданная в точках ${\displaystyle M(x_{1},\;\ldots ,\;x_{k})}$ произвольной ${\displaystyle k}$ -мерной области ${\displaystyle G}$ пространства ${\displaystyle E_{k}}$ , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар ${\displaystyle Q}$ с центром в точке ${\displaystyle M_{0}}$ , принадлежащий вместе со своей границей области ${\displaystyle G}$ , справедливо неравенство ${\displaystyle U(M_{0})\leqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma }$ , и супергармонической, если ${\displaystyle U(M_{0})\geqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma }$ .^[1]

Основные свойства

1. ${\displaystyle f}$  — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$  — открытое множество и ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(G)}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(G)}$  — класс дважды непрерывно дифференцируемых на ${\displaystyle G}$ функций), то для субгармоничности ${\displaystyle f}$ необходимо и достаточно выполнение на ${\displaystyle G}$ условия ${\displaystyle \Delta f\geqslant 0}$ (${\displaystyle \Delta }$  — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

• Для любой аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция

  ${\displaystyle \varphi (z)=\log |f(z)|}$

является субгармонической.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция

Примечания

Литература

• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
• Привалов И. И. Субгармонические функции. — Москва, Ленинград: Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. — 202 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука, 1976. — 720 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.