Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме её формирования.
Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков . Обозначим через подмножество, содержащее первых игроков в данном упорядочении. Вкладом -го по счету игрока назовем величину , где — характеристическая функция кооперативной игры.
Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции , при равновероятном возникновении упорядочений:
где — количество игроков, — множество упорядочений множества игроков — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте в упорядочении , получает свой вклад в коалицию (точка Вебера).
Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения точек Вебера, имеет вид:
где — количество игроков, — количество участников коалиции .
Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:
1. Линейность. Отображение представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями и
и для любой игры с характеристической функцией и для любого
2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра получена из игры перестановкой игроков, то её вектор Шепли есть вектор с соответствующим образом переставленными элементами.
3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок такой, что для любой коалиции , содержащей , выполнено: .
Аксиома болвана состоит в том, что если игрок — болван, то .
4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора равна .
Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.
Эту статью следует викифицировать. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .