WikiSort.ru - Не сортированное

Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество ${\displaystyle d}$ , которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$ ». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так:

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )}$

В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества ${\displaystyle a}$ ), которые должны быть элементами образуемого множества ${\displaystyle d}$ . Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества ${\displaystyle d}$ .

Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:

• ${\displaystyle \exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)}$

• ${\displaystyle \forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)}$

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы булеана, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность булеана для каждого множества ${\displaystyle a}$ . Иначе говоря, можно доказать, что аксиома булеана равносильна высказыванию

${\displaystyle \forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$ , что есть ${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b:b\subseteq a\})\ )}$ .

Альтернативные формулировки аксиомы

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$ , где ${\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)}$

${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})}$

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))}$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Булеан