WikiSort.ru - Не сортированное

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение

Биномиальное преобразование ${\displaystyle T}$ последовательности ${\displaystyle {a_{n}}}$ в последовательность ${\displaystyle {s_{n}}}$ имеет вид

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}$

Введём ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$ , где ${\displaystyle T}$  — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы ${\displaystyle T_{nk}.}$

Оператор ${\displaystyle T}$ обладает свойством инволюции:

${\displaystyle TT=1}$ или в иных обозначениях ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$ ,

где

${\displaystyle \delta }$  — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}$

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$ ;

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$ ;

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$ ;

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0},}$

где

${\displaystyle \triangle }$  — оператор дифференцирования: ${\displaystyle \Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).}$

Пример

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой ${\displaystyle 3^{n-2}(2n^{2}+n)}$ , которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой ${\displaystyle n^{2}2^{n-1}}$

Сдвиг

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла ${\displaystyle B_{i}}$ :

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$

Простые производящие функции

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{matrix}}\right.}$

Тогда

${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).}$

(простая производящая функция)

Преобразование Эйлера

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ в формулу для простой производящей функции, то получим

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$ ,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.}$

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ , получая

${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}$

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть ${\displaystyle 0<x<1}$ имеет цепную дробь ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$ .

Тогда

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ];\\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matrix}}\right.}$

Экспоненциальная производящая функция

Для экспоненциальной функции имеем

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}};\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.\end{matrix}}\right.}$

Тогда

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}$

Интегральное представление

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

Обобщение биномиальных преобразований

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 июня 2016 года.

См. также

• Преобразование Меллина;

Литература

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Ссылки

• Binomial Transform.

Примечания