WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 февраля 2017 года.

Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве ${\displaystyle S}$ называется всякая функция ${\displaystyle Q:S\rightarrow K}$ , имеющая в векторизованной форме вид ${\displaystyle Q(x)=x^{T}Ax+b^{T}x+c}$ , где ${\displaystyle A}$  — симметричная матрица, ${\displaystyle b}$  — линейная функция, ${\displaystyle c}$  — константа.

Перенос начала отсчета

При переносе начала отсчета ${\displaystyle o}$ в точку ${\displaystyle o'=o+a}$ формула изменяется следующим образом:

${\displaystyle A'=A}$

${\displaystyle b'=2Aa+b}$

${\displaystyle c'=a^{T}Aa+ba+c}$

Выражение в координатах

${\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i}b_{i}x_{i}+c,}$

где ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji},c=Q(0),b_{i}}$ =${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}(0)}$

Центр аффинно-квадратичной функции

Точка ${\displaystyle a}$ называется центром аффинно-квадратичной функции ${\displaystyle Q}$ , если ${\displaystyle \forall x:Q(a+x)=Q(a-x).}$ Это имеет место тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}=0}$ . Следовательно множество всех центров задается системой уравнений ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}=2Ax+b=0.}$ В общем случае это афинное подпространство, а если ${\displaystyle A}$ невырождена, то одна точка.

Квадрики

Множество вида ${\displaystyle X(Q)=\{p:Q(p)=0\}}$ , где ${\displaystyle Q}$  — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется коникой или кривой второго порядка, в трехмерном пространстве — поверхностью второго порядка.

Точка ${\displaystyle o}$ называется центром квадрики, если квадрика симметрична относительно неё.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.