4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D,
или
) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как[1]
-
где
— 3-вектор градиента. Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты
отличающиеся знаком минус перед пространственными компонентами, используются редко, например для вычисления квадрата 4-градиента[1] (здесь и ниже
— метрический тензор; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:
-
где Δ — оператор Лапласа.
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент
-
Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:
-
где
— контравариантные компоненты 4-вектора, а
— дивергенция.
Символ
(и иногда
) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:
-
где
— символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
-