WikiSort.ru - Не сортированное

Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857^[1].

1 × 142 857 = 142 857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142 857 = 857 142

7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ , ${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$ и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999^[1]:

000008 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)

000042 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на ${\displaystyle {\frac {5}{10}}}$ или на ${\displaystyle {\frac {2}{10}}}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5

142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

${\displaystyle 857^{2}=734449}$

${\displaystyle 142^{2}=20164}$

${\displaystyle 734449-20164=714285}$

Как период обыкновенной дроби

Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами^[1][2][3]:

1/7 = 0.14285714285714285714…

2/7 = 0.28571428571428571428…

3/7 = 0.42857142857142857142…

4/7 = 0.57142857142857142857…

5/7 = 0.71428571428571428571…

6/7 = 0.85714285714285714285…

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби)^[1][3]. Первые несколько значений n, для которых длина периода дроби 1/n в десятичной записи равна n - 1, равны 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131^[1][4].

Другие операции

Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99^[1].

Другие свойства

142 857 является также числом харшад^[5]:

${\displaystyle 142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)}$

и числом Капрекара^[6][1][2]:

${\displaystyle 142857^{2}=20408122449,}$

${\displaystyle 142857=20408+122449.}$