WikiSort.ru - Не сортированное

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ является связным ориентируемым и замкнутым, то ${\displaystyle n}$ -ая группа гомологий является бесконечной циклической: ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$ . При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма ${\displaystyle \mathbf {Z} \to H_{n}(M,\mathbf {Z} )}$ . Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Формально несвязному ориентируему многообразию ${\displaystyle M=\cup _{i}M_{i}}$ в качестве фундаментального класса можно сопоставить сумму ${\displaystyle \sum [M_{i}]}$ фундаментальных классов всех его связных компонент ${\displaystyle M_{i}}$ . Однако, этот элемент не является порождающим группы ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} )=\oplus H_{n}(M_{i},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} \oplus \dots \oplus \mathbf {Z} }$ .

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )=0}$ , если при этом M является связным и замкнутым, то ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}}$ . Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} _{2})}$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M.

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ -фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если M является компактным ориентируемым многообразием с краем ${\displaystyle \partial M}$ , то n-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbf {Z} }$ . Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)}$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.