WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 мая 2011 года.

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$  — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ . Тогда статистику ${\displaystyle {\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ , принимающую значения в ${\displaystyle \displaystyle \Theta }$ , называют точечной оценкой параметра ${\displaystyle \theta }$ .

Замечание

Формально статистика ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра ${\displaystyle \theta }$ . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)}$ называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta }$ ,

где ${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }}$ обозначает математическое ожидание в предположении, что ${\displaystyle \theta }$  — истинное значение параметра (распределения выборки ${\displaystyle X}$ ).

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$ ,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ по вероятности при ${\displaystyle n\to \infty }$ .

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ называется сильно состоятельной, если ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$ ,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$ .

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка

Литература

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.