WikiSort.ru - Не сортированное

Списки интегралов
Элементарные функции Рациональные функции Иррациональные функции Тригонометрические функции Гиперболические функции Экспоненциальные функции Логарифмические функции Обратные тригонометрические функции Обратные гиперболические функции

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от иррациональных функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Интегралы с корнем из a² + x²

Везде ниже: ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$ .

${\displaystyle \int r\;dx={\frac {1}{2}}\left(xr+a^{2}\,\ln \left({x+r}\right)\right)}$

${\displaystyle \int r^{3}\;dx={\frac {1}{4}}xr^{3}+{\frac {1}{8}}3a^{2}xr+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int r^{5}\;dx={\frac {1}{6}}xr^{5}+{\frac {5}{24}}a^{2}xr^{3}+{\frac {5}{16}}a^{4}xr+{\frac {5}{16}}a^{6}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int xr^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+3}}{2n+3}}}$

${\displaystyle \int x^{2}r\;dx={\frac {xr^{3}}{4}}-{\frac {a^{2}xr}{8}}-{\frac {a^{4}}{8}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{2}r^{3}\;dx={\frac {xr^{5}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{24}}-{\frac {a^{4}xr}{16}}-{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{3}r\;dx={\frac {r^{5}}{5}}-{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \int x^{3}r^{3}\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}}$

${\displaystyle \int x^{3}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+5}}{2n+5}}-{\frac {a^{3}r^{2n+3}}{2n+3}}}$

${\displaystyle \int x^{4}r\;dx={\frac {x^{3}r^{3}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{8}}+{\frac {a^{4}xr}{16}}+{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{4}r^{3}\;dx={\frac {x^{3}r^{5}}{8}}-{\frac {a^{2}xr^{5}}{16}}+{\frac {a^{4}xr^{3}}{64}}+{\frac {3a^{6}xr}{128}}+{\frac {3a^{8}}{128}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{5}r\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {2a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \int x^{5}r^{3}\;dx={\frac {r^{9}}{9}}-{\frac {2a^{2}r^{7}}{7}}+{\frac {a^{4}r^{5}}{5}}}$

${\displaystyle \int x^{5}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+7}}{2n+7}}-{\frac {2a^{2}r^{2n+5}}{2n+5}}+{\frac {a^{4}r^{2n+3}}{2n+3}}}$

${\displaystyle \int {\frac {r\;dx}{x}}=r-a\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|=r-a\operatorname {arsh} {\frac {a}{x}}}$

${\displaystyle \int {\frac {r^{3}\;dx}{x}}={\frac {r^{3}}{3}}+a^{2}r-a^{3}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {r^{5}\;dx}{x}}={\frac {r^{5}}{5}}+{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}+a^{4}r-a^{5}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {r^{7}\;dx}{x}}={\frac {r^{7}}{7}}+{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}+a^{6}r-a^{7}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{r}}=\operatorname {arsh} {\frac {x}{a}}=\ln \left|x+r\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{r}}=r}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{r}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\,\operatorname {arsh} {\frac {x}{a}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|x+r\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{xr}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arsh} {\frac {a}{x}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}$

Интегралы с корнем из x² − a²

Везде ниже: ${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ .

Принято ${\displaystyle x^{2}>a^{2}}$ , для ${\displaystyle x^{2}<a^{2}}$ смотрите следующий раздел.

${\displaystyle \int s\;dx={\frac {1}{2}}\left(xs-a^{2}\ln \left(x+s\right)\right)}$

${\displaystyle \int xs\;dx={\frac {1}{3}}s^{3}}$

${\displaystyle \int {\frac {s\;dx}{x}}=s-a\cos ^{-1}\left|{\frac {a}{x}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{s}}=\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|x+s\right|}$

Заметим, что ${\displaystyle \ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{x-s}}\right)}$ , где ${\displaystyle \operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|}$ принимает только положительные значения.

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s}}=s}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{s}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{3s^{3}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{5s^{5}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{(2n-1)s^{2n-1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{2n-1}}{\frac {x^{2m-1}}{s^{2n-1}}}+{\frac {2m-1}{2n-1}}\int {\frac {x^{2m-2}\;dx}{s^{2n-1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s}}={\frac {xs}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {x}{s}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s}}={\frac {x^{3}s}{4}}+{\frac {3}{8}}a^{2}xs+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{3}}}={\frac {xs}{2}}-{\frac {a^{2}x}{s}}+{\frac {3}{2}}a^{2}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=(-1)^{n-m}{\frac {1}{a^{2(n-m)}}}\sum _{i=0}^{n-m-1}{\frac {1}{2(m+i)+1}}{n-m-1 \choose i}{\frac {x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}},}$ где ${\displaystyle n>m\geq 0}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x}{s}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{5}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}\right]}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{9}}}={\frac {1}{a^{8}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {3}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x^{3}}{3s^{3}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{7}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{9}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {2}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]}$

Интегралы с корнем из a² − x²

Везде ниже: ${\displaystyle t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leqslant |a|{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(xt-a^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\right)}$

${\displaystyle \int xt\;dx=-{\frac {1}{3}}t^{3}}$

${\displaystyle \int {\frac {t\;dx}{x}}=t-a\ln \left|{\frac {a+t}{x}}\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{t}}=\arcsin {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{t}}=-t}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{t}}=-{\frac {x}{2}}t+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt-\operatorname {sgn} x\,\operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|\right)}$

Интегралы с корнем из общего квадратного трёхчлена

Здесь обозначено: ${\displaystyle R=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left|2{\sqrt {aR}}+2ax+b\right|\qquad {\mbox{( }}a>0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operatorname {arsh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{( }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{( }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{( }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{5}}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}\left({\frac {1}{R}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}={\frac {4ax+2b}{(2n-1)(4ac-b^{2})R^{(2n-1)/2}}}+{\frac {8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{R^{(2n-1)/2}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {\sqrt {R}}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{\sqrt {R}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{(2n-1)/2}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R^{(2n+1)/2}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {cR}}+bx+2c}{x}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\operatorname {arsh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)}$

Интегралы с корнем из линейной функции

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax+b}}}}\,=\,{\frac {-2}{\sqrt {b}}}\operatorname {arth} {\sqrt {\frac {ax+b}{b}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {ax+b}}{x}}\,dx\;=\;2\left({\sqrt {ax+b}}-{\sqrt {b}}\operatorname {arth} {\sqrt {\frac {ax+b}{b}}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,dx\;=\;{\frac {2}{a(2n+1)}}\left(x^{n}{\sqrt {ax+b}}-bn\int {\frac {x^{n-1}}{\sqrt {ax+b}}}\,dx\right)}$

${\displaystyle \int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,dx\;=\;{\frac {2}{2n+1}}\left(x^{n+1}{\sqrt {ax+b}}+bx^{n}{\sqrt {ax+b}}-nb\int x^{n-1}{\sqrt {ax+b}}\,dx\right)}$

Библиография

Книги

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
• D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

Таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld
• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

• The Integrator (на Wolfram Research)
• Империя Чисел