WikiSort.ru - Не сортированное

В математике и теоретической физике тензор называется симметричным по двум индексам i и j, если он не меняется при перестановке этих индексов:

${\displaystyle T_{ij\dots }=T_{ji\dots }}$

Если тензор не меняется при перестановке любой пары своих индексов, то такой тензор называется абсолютно симметричным.

Симметризация и антисимметризация

Для любого тензора U, с компонентами ${\displaystyle U_{ij\dots }}$ , можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

${\displaystyle U_{(ij)\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ij\dots }+U_{ji\dots })}$ (симметричная часть),

${\displaystyle U_{[ij]\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ij\dots }-U_{ji\dots })}$ (антисимметричная часть).

Термин «часть» означает, что ${\displaystyle U_{ij\dots }=U_{(ij)\dots }+U_{[ij]\dots }}$

Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию:

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}\ }$ ,

обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом ${\displaystyle \operatorname {Sym} }$ :

${\displaystyle (\operatorname {Sym} \,T)_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}\ }$ .

Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.

Свойства

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 31 декабря 2013 года.

Примеры абсолютно симметричных тензоров

• Ранга 0 — скаляр (любой),
• Ранга 1 — вектор/ковектор (любой),
• Ранга 2:
  • симметричная матрица,
  • (ковариантный) — квадратичная форма.
• Произвольного ранга n — тензорная степень n любого вектора/ковектора (лишь одна из возможностей).

Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.

Применение

Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным n-линейным функционалом, то есть его «коэффициентом» является абсолютно симметричный тензор ранга n.

В квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$ и аналогично для большего числа переменных.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 8 марта 2017 года.