WikiSort.ru - Не сортированное

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Определение

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ и ${\displaystyle (N,h)}$  — римановы многообразия. Гладкое отображение ${\displaystyle f\colon (M,g)\to (N,h)}$ называется римановой субмерсией, если для любой точки ${\displaystyle x}$ существует изометрическое линейное вложение ${\displaystyle \imath _{x}\colon T_{f(x)}\to T_{x}}$ такое, что ${\displaystyle \imath _{x}\circ d_{x}f}$ есть ортогональная проекция. Здесь ${\displaystyle d_{x}f}$ обозначает дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ .

Для вектора ${\displaystyle X\in T_{f(x)}}$ вектор ${\displaystyle {\overline {X}}=\imath _{x}(X)}$ называется горизонтальным поднятием ${\displaystyle X}$ .

Формула О’Нэйла

Пусть ${\displaystyle f\colon N\to M}$  — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$ на ${\displaystyle M}$ , значение тензора кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ можно вычислить, используя формулу О’Нэйла

${\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {Y}},{\overline {X}}\rangle +{\tfrac {3}{4}}\left|[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}\right|^{2}}$ ,

где ${\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}}}$  — горизонтальные поднятия полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно, ${\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}$  — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей ${\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}}}$ на ${\displaystyle N}$ .

Вариации и обобщения

• Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.

Литература

• Gilkey, P. B., Leahy, J. V., Park, J. Spinors, Spectral Geometry, and Riemannian Submersions. — Global Analysis Research Center, Seoul National University, 1998.
• Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 2. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7., стр. 326-379.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.