WikiSort.ru - Не сортированное

Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.

Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия универсального свойства и сопряжённых функторов являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.

Определение

Пределы и копределы определяются при помощи диаграмм. Диаграмма типа J в категории C — это функтор:

F : J → C.

Наибольший интерес представляет случай, когда J — малая или конечная категория. В этом случае диаграмма J называется малой или конечной.

Пусть F — диаграмма типа J в категории C. Конус в F — это объект N в C вместе с семейством морфизмов ψ_X : N → F(X), индексированным объектами X диаграммы J, такой что для любого морфизма f : X → Y в J верно F(f) o ψ_X = ψ_Y.

Предел диаграммы F : J → C — это конус (L, φ) в F такой, что для любого конуса (N, ψ) в F существует единственный морфизм u : N → L, такой что φ_X o u = ψ_X для всех X в J.^[1]

Аналогичным образом определяется понятие копредела — нужно обратить все стрелки. А именно:

Коконус диаграммы F : J → C — это объект N категории C вместе с семейством морфизмов:

ψ_X : F(X) → N

для каждого X в J, такой, что для любого морфизма f : X → Y в J верно ψ_Y o F(f) = ψ_X.

Копредел диаграммы F : J → C — это коконус (L, φ) такой, что для любого другого коконуса (N, ψ) существует единственный морфизм u : L → N, такой, что u o φ_X = ψ_X для всех X в J.

Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.

Примеры пределов

В примерах рассматривается предел (L, φ) диаграммы F : J → C.

• Терминальные объекты. Если J — пустая диаграмма, в C существует только одна диаграмма типа J — пустая. Конус в пустую диаграмму не может состоять более чем из одного элемента. Предел F — это объект, в который существует единственный морфизм из любого объекта, то есть терминальный объект.
• Произведения. Здесь J — дискретная категория (без морфизмов), F — семейство объектов C и предел — это их произведение вместе с проекциями на сомножители.
• Уравнитель. Здесь J — категория из двух объектов и двух параллельных морфизмов, тогда F — два параллельных морфизма и предел — это их уравнитель.
  • Ядро — это частный случай уравнителя, где один из морфизмов нулевой.
• Декартов квадрат. Здесь J состоит из трёх объектов и морфизмов из первого и второго объекта в третий.
• Если J — категория из одного элемента и тождественного морфизма, то предел — это тот элемент, в который отобразилась J.
• Топологические пределы. Пределы функций — частный случай пределов фильтров, которые связаны с категорными пределами следующим образом. В данном топологическом пространстве X рассмотрим F — множество фильтров на X, точку x ∈ X, V(x) ∈ F — фильтр окрестностей x, A ∈ F — некоторый конкретный фильтр и ${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$  — множество фильтров тоньше A и сходящихся к x. На фильтрах F можно задать структуру категории, сказав, что стрелка A → B существует тогда и только тогда, когда A ⊆ B. Вложение ${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$ становится функтором и выполняется следующее утверждение:

  x — топологический предел A тогда и только тогда, когда A — категорный предел ${\displaystyle I_{x,A}}$ .^[2]

Свойства

Функторы и пределы

Функтор G : C → D индуцирует отображение из Cone(F) в Cone(GF). G сохраняет пределы в F, если (GL, Gφ) — предел GF, когда (L, φ) — предел F^[4]. Функтор G сохраняет все пределы типа J, если он сохраняет пределы всех диаграмм F : J → C. Например, можно говорить, что G сохраняет произведения, уравнители и т. д. Непрерывный функтор — это функтор, сохраняющий все малые пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.

Важное свойство сопряжённых функторов — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен^[5].

Функтор G : C → D поднимает пределы для диаграммы F : J → C если из того, что (L, φ) — предел GF следует, что существует предел (L′, φ′) в F, такой что G(L′, φ′) = (L, φ)^[6]. Функтор G поднимает пределы типа J, если он поднимает пределы для всех диаграмм типа J. Существуют двойственные определения для копределов.

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики. — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories. — 1990. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free online edition).