WikiSort.ru - Не сортированное

Изменение геометрических характеристик

• Для объёма ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).}$

• Для скалярной кривизны ${\displaystyle \mathrm {R} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$

где ${\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ определяется как ${\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}}$ для ортонормированного репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в точке.

• В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
• Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.

• Для каждого ${\displaystyle g_{0}}$ -ортонормированного репера ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ в точке ${\displaystyle x\in M}$ существует так называемый сопутствующий ${\displaystyle g_{t}}$ -ортонормированный репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$ . Для тензора кривизны ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ , записанного в этом базисе, верно соотношение

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),}$

где ${\displaystyle Q}$  — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

• Билинейная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны ${\displaystyle x}$ приписывается другой тензор кривизны ${\displaystyle v_{x}=Q(x,x)}$ . Решения ОДУ

${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$

играют важную роль в теории потоков Риччи.

• Выпуклые множества ${\displaystyle K}$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ ${\displaystyle x(0)\in K}$ , то ${\displaystyle x(t)\in K}$ при ${\displaystyle t\geq 0}$ , называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому ${\displaystyle K}$ , то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.

• К инвариантным множествам относятся

• Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
• Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
• В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи