WikiSort.ru - Не сортированное

Многочлены Чебышёва первого рода
Общая информация
Формула	${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,g)=\int _{-1}^{1}{{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f(x)g(x)dx}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,1]}$
Дополнительные характеристики
Названы в честь	Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочлены Чебышёва второго рода
Общая информация
Формула	${\displaystyle U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,g)=\int _{-1}^{1}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,1]}$
Дополнительные характеристики
Названы в честь	Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности ортогональных многочленов ${\displaystyle T_{n}(x)}$ и ${\displaystyle U_{n}(x)}$ , ${\displaystyle n=\{0,1,\dots \}}$ названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

• Многочлен Чебышёва первого рода ${\displaystyle T_{n}(x)}$ характеризуется как многочлен степени ${\displaystyle n}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle 2^{n-1}}$ , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

• Многочлен Чебышёва второго рода ${\displaystyle U_{n}(x)}$ характеризуется как многочлен степени ${\displaystyle n}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle 2^{n}}$ , интеграл от абсолютной величины которого по отрезку ${\displaystyle [-1,1]}$ принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.

Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Определения

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

${\displaystyle T_{0}(x)=1\;}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x\;}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\;}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;}$

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

${\displaystyle U_{0}(x)=1\;}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x\;}$

${\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\;}$

${\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;}$

${\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;}$

${\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;}$

${\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;}$

${\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;}$

Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

• Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
• Сумма коэффициентов многочленов Чебышёва первого рода ${\displaystyle T_{k}(x)}$ равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода ${\displaystyle U_{k}(x)}$ равняется ${\displaystyle k+1}$ .
• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ для многочленов первого рода и ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
  • наибольший старший коэффициент
  • наибольшее значение в любой точке за пределами ${\displaystyle [-1,1]}$
  • если ${\displaystyle n\equiv k{\pmod {2}}}$ , то ${\displaystyle |a_{k-1}|+|a_{k}|\leq |t_{k}|}$ , где ${\displaystyle t_{k}}$  — коэффициент многочлена Чебышёва первого рода, ${\displaystyle a_{k}}$  — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
• Нули полиномов Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
• На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle T_{n}(1)=1}$	${\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}}$	${\displaystyle T_{2n}(0)=(-1)^{n}}$	${\displaystyle T_{2n+1}(0)=0}$
${\displaystyle U_{n}(1)=n+1}$	${\displaystyle U_{n}(-1)=(-1)^{n}\cdot (n+1)}$	${\displaystyle U_{2n}(0)=(-1)^{n}}$	${\displaystyle U_{2n+1}(0)=0}$

• Многочлен Чебышёва первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.
• Многочлен Чебышёва первого и второго рода соответствуют паре последовательностей Люка ${\displaystyle {\tilde {V}}_{n}(P,Q)}$ и ${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}(P,Q)}$ с параметрами ${\displaystyle (P,Q)=(2x,1)}$ :

${\displaystyle {\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).}$

• Многочлен Чебышева первого рода степени ${\displaystyle n}$ имеет наибольшую длину дуги на отрезке ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ в классе всех многочленов степени не выше ${\displaystyle n}$ таких, что максимум их модуля на этом отрезке не превышает ${\displaystyle 1}$ и не равных тождественно константе^[1]

Применения

1. Теория приближений, приближение экспериментальных данных (точек) функцией.

Многочлены Чебышева используются для приближения функцией (рядом многочленов Чебышева) экспериментальных данных. Для этого область определения экспериментальных данных должна быть линейно отображена в интервал ортогональности аппроксимирующих многочленов, в данном случае это многочлены Чебышева, с интервалом ортогональности ${\displaystyle [-1,1]}$ .

${\displaystyle l\colon X_{i}\to [-1,1]}$ , где ${\displaystyle l}$  — линейное отображение, ${\displaystyle X_{i}}$  — область определения точек.

Примером отображения ${\displaystyle l}$ , отображающего заданный интервал в область ортогональности многочленов, ${\displaystyle l\colon [x_{min},x_{max}]\to [-1,1]}$ , может быть функция:

${\displaystyle l(x)={\frac {2x-(x_{max}+x_{min})}{x_{max}-x_{min}}}}$

2. Многочлены Чебышёва применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения

• Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
• Многочлены Фабера

Примечания

Литература

	Многочлены Чебышёва на Викискладе

• Васильев, Н. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения / Васильев, Н., Зелевинский, А. // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12—19.
• Кампе де Ферье, Ж. Функции математической физики / Кампе де Ферье, Ж., Кемпбелл, Р., Петьо, Г. … [и др.]. — М. : Физматлит, 1963.
• Хованский, А. Г. Полиномы Чебышёва и их обращения // Математическое просвещение. — 2013. — Вып. 17. — С. 93—106.
• Лекция 7 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.