WikiSort.ru - Не сортированное

Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула	${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x)\,dx}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,\;1]}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\alpha +\beta +1)y=0\end{aligned}}}$
Названы в честь	Карл Якоби

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные^[1]:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

Откуда одно из конечных значений следующее

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

Для целых ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$  — обычная гамма-функция, и

${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.}$

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},}$

для ${\displaystyle \alpha >-1}$ и ${\displaystyle \beta >-1}$ .

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);}$

а потому ещё одно значение полиномов:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

Для действительного ${\displaystyle x}$ полином Якоби может быть записан следующим образом.

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}$

где ${\displaystyle s\geqslant 0}$ и ${\displaystyle n-s\geqslant 0}$ .

В особом случае, когда ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle n+\alpha }$ , ${\displaystyle n+\beta }$ и ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$  — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

Сумма берется по всем целым значениям ${\displaystyle s}$ , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )}$ (${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi }$ ) в терминах полиномов Якоби^[2]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',\;m+m')}(\cos \varphi ).}$

Производные

${\displaystyle k}$ -я производная явного выражения приводит к

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).}$

Примечания

Литература

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR: 1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 .
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.