WikiSort.ru - Не сортированное

Треугольники

Вершины каждого треугольника лежат на окружности^[3]. Окружность, проходящая через 3 вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, которые определяются из треугольника, также лежат на одной окружности, то есть являются конциклическими точками; см. Окружность Эйлера^[4] и Окружность Лестера.^[5]

Радиус окружности, на которой находятся множество точек, по определению, есть радиус описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трёх из этих точек. Если попарные расстояния между любыми тремя из этих точек a, b и c, то радиус окружности равен

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

Уравнение описанной окружности для треугольника, и выражение для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь.

Четырехугольники

Четырехугольник ABCD с вершинами, лежащими на одной окружности, называется вписанным; это бывает тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$ (по теореме о вписанном угле окружности), что выполняется если и только если противоположные углы четырёхугольника дополняют друг друга до 180 градусов.^[6] Вписанный четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, c, d и полупериметром s = (a+b+c+d)/2 имеет радиус описанной окружности, равный^[7][8]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Это выражение было получено индийским математиком Ватассери Парамешвара^[en] в XV веке.

По теореме Птолемея, четырёхугольник, заданный попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A, B, C и D соответственно, будет вписанным тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая содержит отрезок BD, пересекаются в одной точке «Х», то эти четыре точки A, B, C, D являются конциклическими точками тогда и только тогда, когда^[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

Точка пересечения X может быть как внутри, так и вне описанного круга. Эта теорема известна как теорема о степени точки.

n-угольники

В общем случае n-угольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным многоугольником. Многоугольник является вписанным многоугольником, если и только если все серединные перпендикуляры его сторон пересекаются в одной точке.^[10]