WikiSort.ru - Не сортированное

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции ${\displaystyle f(x)}$ :

${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n},}$

где ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+hk,\ h=\mathrm {const} .}$

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть

${\displaystyle \Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k={\overline {0,n-1}}.}$

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

${\displaystyle \Delta ^{2}y_{k}=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k={\overline {0,n-2}}.}$

Конечной разностью порядка ${\displaystyle m}$ (для ${\displaystyle m\leq n}$ ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка ${\displaystyle m-1}$ , то есть

${\displaystyle \Delta ^{m}y_{k}=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},\ k={\overline {0,n-m}}.}$

Если ввести оператор смещения ${\displaystyle \operatorname {E} }$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {E} y_{k}=y_{k+1}}$ , то оператор восходящей конечной разности ${\displaystyle \Delta =\operatorname {E} -1}$ и

${\displaystyle \Delta ^{k}=(\operatorname {E} -1)^{k}}$ ,

который можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления ${\displaystyle \Delta }$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)}$  — конечная разность порядка ${\displaystyle m}$ от функции ${\displaystyle f}$ c шагом ${\displaystyle h}$ , взятая в точке ${\displaystyle x}$ . Например, ${\displaystyle \Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)}$ .

Пример

Рассмотрим пример для функции ${\displaystyle y=2x^{3}-2x^{2}+3x-1}$ . См. на изображение.

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.
• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.