WikiSort.ru - Не сортированное

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h=\mathrm {const} }$ , то есть ${\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih}$ , то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}$

где ${\displaystyle C_{x}^{m}}$  — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона

Прямая (или первая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: ${\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$ где ${\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}},\;y_{i}=f_{i}}$ , а выражения вида ${\displaystyle \Delta ^{k}y_{0}}$  — конечные разности.

Обратная интерполяционная формула Ньютона

Обратная (или вторая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: ${\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$ где ${\displaystyle q={\frac {x-x_{n}}{h}}}$

См. также

• Интерполяционная формула
• Интерполяционный многочлен
• Эрмитова интерполяция

Для улучшения этой статьи желательно: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проверить достоверность указанной в статье информации.