WikiSort.ru - Не сортированное

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{m})=0}$

Здесь ${\displaystyle P}$ — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные ${\displaystyle x_{i}}$ принимают целые значения. Диофантовым уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также, при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так уравнение

${\displaystyle P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

с параметрами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ и неизвестными ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ считается разрешимым при данных значениях набора параметров ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ , если существуют набор чисел ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})}$ при которых это равенство становится верным.

Примеры

• ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ :
  • При ${\displaystyle n=2}$ решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки.
  • согласно Великой теореме Ферма это уравнение не имеет ненулевых целых решений при ${\displaystyle n>2}$ .
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}}$ — гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ , то есть, никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы n-1 n-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для n = 4 и n = 5.
• ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ , где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля.
• ${\displaystyle x^{z}-y^{t}=1}$ , где ${\displaystyle z,t>1}$ , — уравнение Каталана.
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}=c}$ при ${\displaystyle n\geq 3}$ и ${\displaystyle c\neq 0}$ — уравнение Туэ.

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.}$

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

${\displaystyle ax+by=c.\qquad (1)}$

Если ${\displaystyle (a,b)\nmid c}$ (то есть наибольший общий делитель ${\displaystyle (a,\;b)}$ не делит ${\displaystyle c}$ ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если ${\displaystyle (a,\;b)\neq 1}$ , то число, стоящее слева в (1), делится на ${\displaystyle (a,\;b)}$ , а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении ${\displaystyle ax+by=c}$ выполняется ${\displaystyle (a,b)\mid c}$ , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$  — частное решение уравнения ${\displaystyle ax+by=c}$ . Тогда все его решения находятся по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{(a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Частное решение ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ можно построить следующим образом. Если ${\displaystyle (a,b)\neq 1}$ и ${\displaystyle c}$ делится на ${\displaystyle (a,b)}$ , то после деления всех коэффициентов на ${\displaystyle (a,b)}$ уравнение приобретает вид ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}$ , где ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=1}$ . Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для ${\displaystyle a_{1},b_{1}}$ :

${\displaystyle ua_{1}+vb_{1}=1,}$

исходя из которого, можно положить ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).}$

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения^[1]:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b)}}{b}}-at,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \varphi (\cdot )}$  — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Алгебраические диофантовы уравнения

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

См. также

• Малая теорема Ферма
• Решение сравнений

Примечания

Ссылки

• Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
• Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
• Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,” Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
• Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
• Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16-17,35.
• Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
• Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31–45.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.