WikiSort.ru - Не сортированное

Число классов квадратичного поля

Если d — число, свободное от квадратов, то ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ является квадратичным полем. Если d < 0, группа классов тривиальна только для следующих значений: ${\displaystyle d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$ Что касается случая d > 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопрос о том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальная группа классов.

Пример нетривиальной группы классов

${\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$  — кольцо целых числового поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}}).}$ Это кольцо не является факториальным; действительно, идеал

${\displaystyle J=(2,1+{\sqrt {-5}})}$

не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом. На ${\displaystyle R}$ можно определить функцию нормы ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {5}})=a^{2}+5b^{2}}$ , причем ${\displaystyle N(ab)=N(a)N(b)}$ и ${\displaystyle N(x)=1}$ тогда и только тогда, когда x обратим. Прежде всего, ${\displaystyle J\neq R}$ . Факторкольцо по идеалу ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})}$ изоморфно ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ , поэтому ${\displaystyle R/J\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ . Если J порожден элементом x, то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, норма x делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1, так как J не равен R, и не может быть равна 2, так как ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}}$ не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить что ${\displaystyle J^{2}=(2)}$  — главный идеал, поэтому порядок J в группе классов равен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этих двух классов, требует чуть больших усилий.