WikiSort.ru - Не сортированное

В теории графов, граф Риба некоторой функции описывает связность поверхностей уровня этой функции. Был введен Жоржем Рибом^[1]

Определение

Рассмотрим непрерывную функцию, заданную на компактном многообразии, ${\displaystyle f:M\to R}$ . Прообраз точки ${\displaystyle y\in R}$ является поверхностью уровня функции ${\displaystyle f^{-1}(y)\subset M}$ . Две точки ${\displaystyle x,x'\in M}$ называются эквивалентными, ${\displaystyle x\!\sim x'}$ , если они принадлежат одной компоненте связности поверхности уровня ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ .

Граф Риба функции ${\displaystyle f}$  — это факторпространство многообразия ${\displaystyle M}$ по такому отношению эквивалентности, ${\displaystyle G=M/\!\sim }$ . Вершинами графа являются компоненты связности критических уровней функции. Ориентация графа ${\displaystyle G}$ определяется направлением градиента функции ${\displaystyle f}$ .

Свойства

Следующие свойства графа Риба были доказаны в его основополагающей работе^[1]:

Пусть на компактном ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии класса гладкости ${\displaystyle C^{2}}$ задана функция Морса f, все критические точки которой соответствуют разным критическим значениям функции. Множество таких функций открыто и плотно в пространстве всех функций. Обозначим ${\displaystyle \Gamma }$ граф Риба этой функции. Тогда:

• Вершинам степени 1 графа ${\displaystyle \Gamma }$ в точности соответствуют критические точки функции f индекса 0 и n.
• Если ${\displaystyle n\geq 3}$ , вершина графа, соответствующая критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса 1 и n-1, может иметь степень 2 или 3.
• Если ${\displaystyle n\,=2}$ , вершины графа, соответствующие критическим точкам индекса 1, могут иметь степень 2, 3 или 4.
• Степень вершины графа, соответствующей критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса, отличного от 0, 1, n-1 и n, всегда равна 2.

Эти свойства графа влекут любопытное свойство функций Морса, доказанное там же^[1]:

• Обозначим через ${\displaystyle \Omega _{k}}$ множество критических точек функции индекса k и n-k. Если ${\displaystyle n\geq 3}$ , то ${\displaystyle |\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2}$ .

Применение

Графы Риба используются в математике при изучении

• топологической классификации функций Морса ^[2]
• гамильтоновых систем ^[3]

Графы Риба и, в особенности, ациклические графы Риба, называемые контурными деревьями, находят широкое применение в компьютерных приложениях:

• в компьютерном дизайне и геометрическом моделировании,
• в геометрических моделях структуры данных и методах поиска в базах данных
• в системах автоматизации проектных работ.

Примечания

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.