WikiSort.ru - Не сортированное

(а) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 100 простых.

(б) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 200 простых.

(в) Функция ${\displaystyle A_{n}}$ для первых 500 простых.

Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция ${\displaystyle A_{n}}$ всегда меньше 1.

Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство:

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

выполняется для всех ${\displaystyle n}$ , где ${\displaystyle p_{n}}$ является ${\displaystyle n}$ -м простым числом. Если ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ означает ${\displaystyle n}$ -й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как:

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$ .

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году^[1].

Эмпирическое подтверждение

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до ${\displaystyle 1{,}3002\times 10^{16}}$ ^[2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$ .

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (функции Андрицы) наибольшие значения наблюдаются в точках ${\displaystyle n=1,2,4}$ со значением ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873\dots }$ , и больших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания ${\displaystyle n}$ , гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

где ${\displaystyle p_{n}}$  — ${\displaystyle n}$ -ое простое, а ${\displaystyle x}$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по ${\displaystyle x}$ находится при ${\displaystyle n=1}$ , когда ${\displaystyle x_{\max }=1}$ . Есть гипотеза, что наименьшее значение ${\displaystyle x}$ равно ${\displaystyle x_{\min }\approx 0{,}567148\dots }$ ^[3], которое находится при  ${\displaystyle n=30}$ .

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ для ${\displaystyle x<x_{\min }}$ .

См. также

• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхта^[en]*

Примечания

Литература

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938.
• Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9.

Ссылки

• Andrica’s Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.