WikiSort.ru - Не сортированное

В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана—де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике,^[1] Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.^[2][3]

Определение

Функция Дикмана—де Брёйна ${\displaystyle \rho (u)}$ — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0}$

с начальными условиями ${\displaystyle \rho (u)=1}$ для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)}$

где ${\displaystyle \Psi (x,y)}$ — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)}$

в нотации О большое.^[4]

Приложения

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя ${\displaystyle \log \rho }$ , можно показать, что ^[5]

${\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)}}$ ,

что связано с оценкой ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}}$ , приведенной ниже.

Постоянная Голомба—Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана—де Брёйна.

Оценка

Простым приближением может служить ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}.}$ Лучшую оценку дает ^[6]

${\displaystyle \rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))}$ ,

где Ei – интегральная показательная функция, а ξ – положительный корень уравнения

${\displaystyle e^{\xi }-1=u\xi .}$

Простую верхнюю оценку дает ${\displaystyle \rho (x)\leq 1/x!.}$

${\displaystyle u}$	${\displaystyle \rho (u)}$
1	1
2	3.0685282⋅10-1
3	4.8608388⋅10-2
4	4.9109256⋅10-3
5	3.5472470⋅10-4
6	1.9649696⋅10-5
7	8.7456700⋅10-7
8	3.2320693⋅10-8
9	1.0162483⋅10-9
10	2.7701718⋅10-11

Вычисление

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция ${\displaystyle \rho _{n}}$ , такая, что ${\displaystyle \rho _{n}(u)=\rho (u)}$ . Для 0 ≤ u ≤ 1, ${\displaystyle \rho (u)=1}$ . Для 1 ≤ u ≤ 2, ${\displaystyle \rho (u)=1-\log u}$ . Для 2 ≤ u ≤ 3,

${\displaystyle \rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}}$ ,

где Li₂ — дилогарифм. Остальные ${\displaystyle \rho _{n}}$ могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.^[7]

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.^{[6] [8]}

Расширение

Бах и Перальта определили двумерный аналог ${\displaystyle \sigma (u,v)}$ функции ${\displaystyle \rho (u)}$ .^[7] Эта функция используется для оценки функции ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$ , аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).}$

Ссылки

1. ↑ Dickman, K. (1930). “On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude”. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 22A (10): 1—14.
2. ↑ de Bruijn, N. G. (1951). “On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y” (PDF). Indagationes Mathematicae. 13: 50—60.
3. ↑ de Bruijn, N. G. (1966). “On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II” (PDF). Indagationes Mathematicae. 28: 239—247.
4. ↑ Ramaswami, V. (1949). “On the number of positive integers less than ${\displaystyle x}$ and free of prime divisors greater than x^c” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 55: 1122—1127.
5. ↑ Hildebrand, A.; Tenenbaum, G. (1993). “Integers without large prime factors” (PDF). Journal de théorie des nombres de Bordeaux. 5 (2): 411—484.
6. 1 2 van de Lune, J.; Wattel, E. (1969). “On the Numerical Solution of a Differential-Difference Equation Arising in Analytic Number Theory”. Mathematics of Computation. 23 (106): 417—421. DOI:10.1090/S0025-5718-1969-0247789-3.
7. 1 2 Bach, Eric; Peralta, René (1996). “Asymptotic Semismoothness Probabilities” (PDF). Mathematics of Computation. 65 (216): 1701—1715. DOI:10.1090/S0025-5718-96-00775-2.
8. ↑ Marsaglia, George; Zaman, Arif; Marsaglia, John C. W. (1989). “Numerical Solution of Some Classical Differential-Difference Equations”. Mathematics of Computation. 53 (187): 191—201. DOI:10.1090/S0025-5718-1989-0969490-3.

Внешние ссылки

• Broadhurst, David (2010), "Dickman polylogarithms and their constants", arΧiv:1004.0519 

• Soundararajan, K. (2010), "An asymptotic expansion related to the Dickman function", arΧiv:1005.3494 

• Weisstein, Eric W. Dickman function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.