WikiSort.ru - Не сортированное

В математике константа Голомба-Дикмана появляется при исследовании случайных перестановок и в теории чисел. Константа равна

${\displaystyle \lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots .}$

Определения

Пусть a_n – средняя длина наиболее длинного цикла перестановки, взятая по всем перестановкам множества из n элементов. Тогда константа Голомба-Дикмана равна

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.}$

На языке теории вероятностей ${\displaystyle \lambda n}$ является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из n элементов.

В теории чисел константа Голомба-Дикмана появляется в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа. Точнее,

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}},}$

где ${\displaystyle P_{1}(k)}$ – наибольший простой делитель числа k. Таким образом, если k – d-значное десятичное целое, то ${\displaystyle \lambda d}$ является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе k.

Константа Голомба-Дикмана появляется в теории чисел и другим путём. Какова вероятность того, что второй по величине простой делитель числа n меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя n? Асимптотически эта вероятность равна ${\displaystyle \lambda }$ . Точнее,

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\text{Prob}}\left\{P_{2}(n)\leq {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}}$

где ${\displaystyle P_{2}(n)}$ – второй по величине простой делитель n.

Формулы

Существует несколько представлений ${\displaystyle \lambda }$ . А именно,

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-\operatorname {Ei} _{1}(t)}dt}$ ,

где ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}(t)}$ (также используется обозначение ${\displaystyle E_{1}(t)}$ ) — модифицированная интегральная показательная функция,

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt}$

и

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt}$

где ${\displaystyle \rho (t)}$ – это функция Дикмана.

Приложения

Аналогичный результат возникает в проблеме ста заключенных в статистике случайных перестановок: асимптотически доля перестановок с циклом длины больше n/2 равна ${\displaystyle \log 2\approx 0.693}$ .

См. также

• Голомб, Соломон Вольф
• Случайные перестановки
• Статистика случайных перестановок

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 284–286. — ISBN 0-521-81805-2.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.