WikiSort.ru - Не сортированное

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0

заменить $\ z$ на $\ iz$ , оно примет вид

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если $\nu$ не является целым числом, то функции Бесселя $J_{\nu }(iz)$ и $J_{-\nu }(iz)$ являются двумя линейно независимыми решениями уравнения $(1)$ . Однако чаще используют функции

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}

и

I_{-\nu }(z).

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если $\nu$ — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

$\nu$ называется порядком функции.

Функция

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z){\biggr ]}

также является решением уравнения $(1)$ . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

и принимает вещественные значения, если $\nu$ — вещественное число, а $z$ положительно.

Функции целого порядка

Так как $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ при целом $\nu$ в качестве фундаментальной системы решений уравнения $(1)$ выбирают $I_{n}(z)$ и $K_{n}(z),$ где

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Модифицированные функции Бесселя первого рода

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Модифицированные функции Бесселя второго рода

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z}}.

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Интегральные представления

Модифицированные функции Бесселя первого рода

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},\Gamma (z)

— гамма-функция.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\cosh(zt)dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}e^{-zt}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Модифицированные функции Бесселя второго рода

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt,\qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}-1)}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}{{\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.

Асимптотическое поведение

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2}},\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Частный случай:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

См. также

Цилиндрические функции

Литература

Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the Second Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии