WikiSort.ru - Не сортированное

Формула Фаа ди Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно 1855), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации^[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m₁, …, m_n), удовлетворяющих ограничению:

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$

Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в следующем виде, однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

Суммируя члены с фиксированным значением m₁ + m₂ + … + m_n = k и заметив, что m _j должен быть равен нулю при j > n − k + 1 можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла B_n,k(x₁, …,x_n−k+1):

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Комбинаторная форма

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)}$

где

• π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
• "B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
• |A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\&{}\quad +\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\&{}\quad +\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}}$

Все действия выполняются по следующем образцу:

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\\\g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\\\g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\\\g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\\\g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1.\end{aligned}}}$

Множитель ${\displaystyle \scriptstyle g''(x)g'(x)^{2}\;}$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель ${\displaystyle \scriptstyle f'''(g(x))\;}$ показывает, что имеется три слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно шесть разбиений множества из 4-х элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель ${\displaystyle \scriptstyle g''(x)^{2}\;}$ в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а ${\displaystyle \scriptstyle f''(g(x))}$ указывает на то, что в этом разбиении должно два слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3}$ способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Коэффициенты формулы Фаа ди Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

${\displaystyle \displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots }$

равно

${\displaystyle {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.}$

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Faa di Bruno's Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Конспект лекции о формуле Фаа ди Бруно с примерами.
• В. А. Кудрявцев. Общая формула для производной n-го порядка степени некоторой функции // Математическое Просвещение. — М.-Л.: ОНТИ, 1934. — Вып. 1. — С. 24-27.