WikiSort.ru - Не сортированное

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ :

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}.}$

История открытия

Формула Планка («форма» зависимости ${\displaystyle u}$ от частоты и температуры), первоначально, была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса (которая следует из классической теории электромагнитного поля) удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными; более того, в пределе она даёт расхождение: бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций (квантов) энергии, величина которых связана с частотой излучения выражением:

${\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega .}$

Коэффициент пропорциональности, ${\displaystyle \hbar }$ , впоследствии назвали постоянной Планка; ${\displaystyle \hbar }$ = 1,054 · 10⁻²⁷ эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы; в частности, из неё следует закон Стефана — Больцмана (также эмпирически подтверждённый). Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка: формула Вина и формула Рэлея — Джинса.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля, любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой ${\displaystyle \omega }$ . Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения, согласно следующей формуле:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2).}$

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

${\displaystyle W_{n}={1 \over Z}\cdot \mathrm {exp} \left(-{E_{n} \over kT}\right).}$

Статистическая сумма ${\displaystyle Z}$ равна:

${\displaystyle Z=\sum \mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over {kT}}\cdot (n+1/2)\right)=\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)\cdot \sum \mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)^{n}={\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)}{1-\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)}}.}$

Свободная энергия ${\displaystyle \Psi }$ равна:

${\displaystyle \Psi =-kT\cdot \ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\cdot \ln \left(1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)\right).}$

Для средней (математическое ожидание) энергии ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:

${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\sum (W_{n}E_{n})=\Psi -\left(kT\cdot {\frac {\partial (\Psi )}{\partial (kT)}}\right)=(kT)^{2}\cdot {\frac {\partial (\ln Z)}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}\cdot \left({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)\cdot {\hbar \omega \over (kT)^{2}}}{1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)}}\right)}$ ;

таким образом — средняя энергия ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ , приходящаяся на полевой осциллятор, равна:

${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}}}$ ,

(1)

где ${\displaystyle \hbar }$  — постоянная Планка, ${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале ${\displaystyle (\omega ;\omega +d\omega )}$ , равно^[1][2]:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}$ .

(2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\left(\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)}},}$

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

${\displaystyle u_{p}(\lambda ,T)={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}}{\lambda ^{5}\left(\mathrm {exp} \left({{2\pi \over \lambda }{\hbar c \over kT}}\right)-1\right)}}}$ .

(5)

Переход к формулам Рэлея — Джинса

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до ${\displaystyle \infty }$ . При малых частотах (больших длинах волн), когда ${\displaystyle {\hbar \omega \over kT}\ll 1}$ , можно разложить экспоненту по ${\displaystyle {\hbar \omega \over kT}}$ . В результате получим, что

${\displaystyle \mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\approx 1+{\hbar \omega \over kT}-1={\hbar \omega \over kT},}$

тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея — Джинса.

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}},}$ и

${\displaystyle f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}.}$

Переход к закону Стефана — Больцмана

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

${\displaystyle R=\int _{0}^{\infty }f(\omega ,T)\mathrm {d} \omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {exp} \left({{\hbar \omega } \over {kT}}\right)-1}}.}$

Введём переменную ${\displaystyle x={{\hbar \omega } \over {kT}}}$ ; тогда ${\displaystyle \omega ={{kT} \over \hbar }\cdot x}$ , и ${\displaystyle \mathrm {d} (\omega )={kT \over \hbar }\mathrm {d} x}$ . Получим:

${\displaystyle R={{\hbar } \over {4\pi ^{2}c^{2}}}\left({kT \over \hbar }\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\cdot \mathrm {d} x}{\mathrm {e} ^{x}-1}}.}$

Полученный интеграл имеет точное значение ${\displaystyle \pi ^{4}/15}$ ; подставив его, получим известный закон Стефана — Больцмана:

${\displaystyle R={\pi ^{2}k^{4}T^{4} \over {60c^{2}\hbar ^{3}}}=\sigma T^{4}.}$

Подстановка численных значений констант даёт значение для ${\displaystyle \sigma =5,66961\cdot 10^{-8}}$ Вт/(м² ${\displaystyle K^{4}}$ ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по ${\displaystyle \lambda }$ и приравнять нулю (поиск экстремума)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{p}(\lambda ,T)}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}\left\{{\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-5\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]\right\}}{\lambda ^{6}\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]^{2}}}=0.}$

Значение ${\displaystyle \lambda _{m}}$ , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=x}$ , и получится уравнение:

${\displaystyle xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.}$

Решение такого уравнения даёт ${\displaystyle x=4,96511}$ . Следовательно,

${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=4,965,}$

отсюда немедленно получается:

${\displaystyle T\lambda _{m}={\frac {2\pi \hbar c}{4.965k}}=b.}$

Численная подстановка констант даёт значение для ${\displaystyle b=0,0028999}$ К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу: ${\displaystyle \lambda _{\max }T\approx 3000}$ мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

См. также

• Абсолютно чёрное тело

Примечания

Литература

Ссылки

	Портал «Физика»
	Проект «Физика»

• Симулятор излучения абсолютно чёрного тела
• Summary of Radiation
• Scienceworld entry on Planck's Law

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.