WikiSort.ru - Не сортированное

Закон Рэлея — Джинса — закон излучения для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и для испускательной способности ${\displaystyle f(\omega ,T)}$ абсолютно чёрного тела, который получили Рэлей и Джинс в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).^[1][2][3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей ${\displaystyle kT}$ . Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}\qquad \qquad (1)}$ .

В нашем случае скорость ${\displaystyle v}$ следует положить равной ${\displaystyle c}$ , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) вдобавок следует помножить на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (2)}$ .

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=kT}$ . Помножив (2) на ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ , получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ :

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$ ,

тогда:

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (3)}$ .

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела ${\displaystyle f(\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle f(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$ , для ${\displaystyle f(\omega ,T)}$ находим:

${\displaystyle f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\qquad \qquad (4)}$ .

Выражения (3) и (4) называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по ${\displaystyle \omega }$ в пределах от 0 до ${\displaystyle \infty }$ для равновесной плотности энергии ${\displaystyle u(T)}$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях ${\displaystyle u(T)}$ . Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.

Примечания