WikiSort.ru - Не сортированное

Уравнение Якоби — Маддена — это диофантово уравнение

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}\,}$

предложенное физиком Ли У. Якоби и математиком Даниэлем Дж. Мадденом в 2008^[1][2]. Переменные a, b, c и d могут быть любыми целыми числами, положительными, отрицательными или 0^[3]. Якоби и Мадден показали, что имеется бесконечно много решений уравнения с не равными нулю переменными.

История

Уравнение Якоби-Маддена представляет собой частный случай уравнения

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4}\,}$

впервые предложенного в 1772 году Леонардом Эйлером, который предположил, что четыре является минимальным числом (большим единицы) четвёртых степеней ненулевых целых чисел, которые в сумме дают другую четвёртую степень. Эта гипотеза, известная теперь как Гипотеза Эйлера, была естественным обобщением великой теоремы Ферма, последняя была доказана для четвёртой степени самим Пьером Ферма.

Ноам Элкиз^[en] первым нашёл бесконечную последовательность уравнения Эйлера ровно с одной переменной равной нулю, опровергнув гипотезу Эйлера о сумме степеней для четвёртой степени^[4].

Однако до публикации Якоби и Маддена было неизвестно, существует ли бесконечное число решений уравнения Эйлера с ненулевыми переменными. Было известно лишь конечное число таких решений^[5][6]. Одно из таких решений обнаружил Симха Брудно в 1964^[7], дающее решение уравнения Якоби-Маддена:

${\displaystyle 5400^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+955^{4}=(5400+1770-2634+955)^{4}.\,}$

Подход

Якоби и Мадден начали с

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

И тождества,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}$

Добавив ${\displaystyle (a+b)^{4}+(c+d)^{4}}$ к обоим частям уравнения,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}}$

можно видеть, что это частный случай пифагоровой тройки,

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}}$

Они затем использовали решение Брудно и некую эллиптическую кривую для построения бесконечной серии решений как уравнения Якоби-Маддена, так и уравнения Эйлера. В отличие от метода Элкиса, построение использовало ненулевые значения переменных.

Якоби и Маддена заметили также, что другое стартовое значение, такое как,

${\displaystyle (-31764)^{4}+27385^{4}+48150^{4}+7590^{4}=(-31764+27385+48150+7590)^{4}\,}$

найденное Ярославом Вроблевски^[6], даёт другую бесконечную серию решений^[8]

В августе 2015 Сейдзи Томита объявил о двух новых решениях уравнения Якоби-Маддена с небольшими значениями:^[9]

${\displaystyle 1229559^{4}+(-1022230)^{4}+1984340^{4}+(-107110)^{4}=(1229559-1022230+1984340-107110)^{4}\,,}$

${\displaystyle 561760^{4}+1493309^{4}+3597130^{4}+(-1953890)^{4}=(561760+1493309+3597130-1953890)^{4}\,.}$

См. ткже

• Гипотеза Била
• Задача Пруэ — Тарри — Эскотта^[en]
• Число такси
• Пифагорова четвёрка
• Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Проверить статью на грамматические и орфографические ошибки.