WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней ${\displaystyle k>2}$ уравнение ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}$ не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle a,b,c}$ .

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}$

не имеет решения в натуральных числах, если ${\displaystyle k\geq m+n}$ , за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел ${\displaystyle (k,m,n)}$ ^[1].

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для ${\displaystyle k=5}$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера^[2]:

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$

В последующие годы были найдены ещё несколько примеров для других ${\displaystyle k}$ . Для ${\displaystyle k=4}$ наименьшее решение, найденное в 1988 году (Roger Frye, 1988) таково:

${\displaystyle 414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},}$

Однако для ${\displaystyle k=6}$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж (англ.) предположили^[3], что уравнение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}$

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах при ${\displaystyle k>3}$ , только если ${\displaystyle k\leq m+n}$ .

Для случая ${\displaystyle (k,2,1),k>3}$ справедливость гипотезы вытекает из великой теоремы Ферма.

Поиск решений уравнений ${\displaystyle (k,m,n)}$ для больших степеней оказывается трудной задачей не только для ${\displaystyle k=m+n}$ , но и для ${\displaystyle k<m+n}$ . Поиском решений для различных ${\displaystyle (k,m,n)}$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet^[4] и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:^[5]

Некоторые решения для (k, k, 1)

Примечания

Литература

• Guy, Richard K. Ошибка: не задан параметр |заглавие= в шаблоне {{публикация}}. — 3rd. — New York, NY : Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.

Ссылки

• EulerNet
• Гипотеза Эйлера
• Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
• A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!
• Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle