WikiSort.ru - Не сортированное

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

${\displaystyle x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),}$

${\displaystyle {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},}$

где ${\displaystyle {\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}}$  — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Матрица Слуцкого

Частные производные ${\displaystyle s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}}$ могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: ${\displaystyle s_{ij}=s_{ji}}$ (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
2. Отрицательная полуопределенность;
3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: ${\displaystyle S(p,I)\mathbf {p} =0}$ .

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Ссылки

http://www.math.kemsu.ru/faculty/kmc/book/matekon/Chapter3/par3_7.html

http://50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=16&r=1&z=1

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..