Уравне́ние Меще́рского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году[1] для материальной точки переменной массы (состава).
Уравнение обычно записывается в следующем виде:
где:
Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения. Величина:
называется «реактивной силой».
Обычно[2][3][4] уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:
где — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.
Рассмотрим тело переменной массы . Пусть за промежуток времени к телу присоединяется малая масса , имевшая до присоединения скорость , и отделяется малая масса , скорость которой после отделения становится равной . В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.
В соответствии с законом сохранения импульса импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:
где — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.
Учитывая, что , из (1) получаем:
Изменение массы основного тела связано с и соотношением , поэтому из (2) следует:
После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:
Введя относительные скорости частиц и , равные соответственно и , и добавив равнодействующую внешних сил , получим уравнение Мещерского в окончательном виде.
Первыми работами[5], посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета[6] и Зенгера[7].
При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса . В результате уравнение приобретает вид:
В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости и , так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.
Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:
где — скорость частиц относительно ракеты.
Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года[8]. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году[9].
Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации[10] и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»[11], аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .