WikiSort.ru - Не сортированное

Формула при отсутствии внешних сил

Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.

${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=m_{p}\cdot {\vec {a}}=-{\vec {u}}\cdot {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}}$ , где

${\displaystyle m_{p}}$  — масса ракеты

${\displaystyle {\vec {a}}}$  — её ускорение

${\displaystyle {\vec {u}}}$  — скорость истечения газов

${\displaystyle {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}}$  — расход массы топлива в единицу времени

Поскольку скорость истечения продуктов сгорания (рабочего тела) определяется физико-химическими свойствами компонентов топлива и конструктивными особенностями двигателя, являясь постоянной величиной при не очень больших изменениях режима работы реактивного двигателя, то величина реактивной силы определяется в основном массовым секундным расходом топлива^[1].

Уравнение Мещерского

Если же на ракету, кроме реактивной силы ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$ , действует внешняя сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , то уравнение динамики движения примет вид:

${\displaystyle m_{p}\cdot {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{p}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle m_{p}\cdot {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\vec {F}}+(-{\vec {u}}\cdot {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}})}$

Формула Мещерского представляет собой обобщение второго закона Ньютона для движения тел переменной массы. Ускорение тела переменной массы определяется не только внешними силами ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , действующими на тело, но и реактивной силой ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$ , обусловленной изменением массы движущегося тела:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {{\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}}{m_{p}}}}$

Формула Циолковского

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского^[4]:

${\displaystyle {\frac {m_{t}}{m}}=e^{\frac {\vec {v}}{\vec {u}}}}$

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид:

${\displaystyle {\frac {m_{t}}{m}}=\left({\frac {{\vec {c}}+{\vec {v}}}{{\vec {c}}-{\vec {v}}}}\right)^{\frac {\vec {c}}{2{\vec {u}}}}}$ , где ${\displaystyle {\vec {c}}}$  — скорость света.