WikiSort.ru - Не сортированное

Удельное электрическое сопротивление
${\displaystyle \rho }$
Размерность	СИ:L3MT-3I-2 СГС:T
Единицы измерения
СИ	Ом·м
СГС	с

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние, или просто удельное сопротивление вещества — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Удельное сопротивление обозначается греческой буквой ρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле ${\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}}$ (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ${\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}$

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ${\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}}$ следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Обобщение понятия удельного сопротивления

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})}$ и плотность тока ${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})}$ в данной точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ . Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}){\vec {J}}({\vec {r}}).}$

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ${\displaystyle \rho _{ij}}$ . В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

${\displaystyle E_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\rho _{ij}({\vec {r}})J_{j}({\vec {r}}).}$

В анизотропном, но однородном веществе тензор ${\displaystyle \rho _{ij}}$ от координат не зависит.

Тензор ${\displaystyle \rho _{ij}}$ симметричен, то есть для любых ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ выполняется ${\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}}$ .

Как и для всякого симметричного тензора, для ${\displaystyle \rho _{ij}}$ можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица ${\displaystyle \rho _{ij}}$ становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент ${\displaystyle \rho _{ij}}$ отличными от нуля являются лишь три: ${\displaystyle \rho _{11}}$ , ${\displaystyle \rho _{22}}$ и ${\displaystyle \rho _{33}}$ . В этом случае, обозначив ${\displaystyle \rho _{ii}}$ как ${\displaystyle \rho _{i}}$ , вместо предыдущей формулы получаем более простую

${\displaystyle E_{i}=\rho _{i}J_{i}.}$

Величины ${\displaystyle \rho _{i}}$ называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Связь с удельной проводимостью

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением ${\displaystyle \rho }$ и удельной проводимостью ${\displaystyle \sigma }$ выражается равенством

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sigma }}.}$

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления ${\displaystyle \rho _{ij}}$ и тензора удельной проводимости ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

${\displaystyle J_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}({\vec {r}})E_{j}({\vec {r}}).}$

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для ${\displaystyle E_{i}({\vec {r}})}$ следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

${\displaystyle \rho _{11}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{22}\sigma _{33}-\sigma _{23}\sigma _{32}],}$

${\displaystyle \rho _{12}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{33}\sigma _{12}-\sigma _{13}\sigma _{32}],}$

где ${\displaystyle \det(\sigma )}$  — определитель матрицы, составленной из компонент тензора ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ . Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3^[3].

Удельное электрическое сопротивление некоторых веществ

Тонкие плёнки

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», ${\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.}$ Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: ${\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,}$ где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

Примечания

См. также

• Электрическое сопротивление
• Сверхпроводимость
• Закон Ома
• Удельная проводимость
• Отрицательное сопротивление
• Импеданс

Для улучшения этой статьи желательно: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью.