WikiSort.ru - Не сортированное

Уда́р — толчок, кратковременное взаимодействие тел, при котором происходит перераспределение кинетической энергии. Часто носит разрушительный для взаимодействующих тел характер. В физике под ударом понимают такой тип взаимодействия движущихся тел, при котором временем взаимодействия можно пренебречь.

Физическая абстракция

При ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но обычно не выполняется закон сохранения механической энергии. Предполагается, что за время удара действием внешних сил можно пренебречь, тогда полный импульс тел при ударе сохраняется, в противном случае нужно учитывать импульс внешних сил. Часть энергии обычно уходит на нагрев тел и звук.

Результат столкновения двух тел можно полностью рассчитать, если известно их движение до удара и механическая энергия после удара. Обычно рассматривают либо абсолютно упругий удар, либо вводят коэффициент сохранения энергии k, как отношение кинетической энергии после удара к кинетической энергии до удара при ударе одного тела о неподвижную стенку, сделанную из материала другого тела. Таким образом, k является характеристикой материала, из которого изготовлены тела, и (предположительно) не зависит от остальных параметров тел (формы, скорости и т. п.).

Если не известны потери энергии, происходит одновременное столкновение нескольких тел или столкновение точечных частиц, то определить однозначно движение тел после удара невозможно. В этом случае рассматривается зависимость возможных углов рассеяния и скоростей тел после удара от начальных условий. Например, при столкновении двух элементарных частиц рассеяние может произойти лишь в некотором диапазоне углов, определяющемся предельным углом рассеяния.

В общем случае решение задачи о столкновении кроме знания начальных скоростей требует дополнительных параметров.

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар — модель соударения, при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается, что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие распространяется по всему телу мгновенно. Хорошей моделью абсолютно упругого удара является столкновение бильярдных шаров или упругих мячиков.

Математическая модель абсолютно упругого удара работает примерно следующим образом:

1. Есть в наличии два абсолютно твёрдых тела, которые сталкиваются.
2. В точке контакта происходят упругие деформации. Кинетическая энергия движущихся тел мгновенно и полностью переходит в энергию деформации.
3. В следующий момент деформированные тела принимают свою прежнюю форму, а энергия деформации полностью обратно переходит в кинетическую энергию.
4. Контакт тел прекращается, и они продолжают движение.

Для математического описания простейших абсолютно упругих ударов используется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

${\displaystyle m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}=m_{1}{\vec {v}}'_{1}+m_{2}{\vec {v}}'_{2}.}$

Здесь ${\displaystyle m_{1},\ m_{2}}$  — массы первого и второго тел. ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},\ {\vec {v}}'_{1}}$  — скорость первого тела до, и после взаимодействия. ${\displaystyle {\vec {v}}_{2},\ {\vec {v}}'_{2}}$  — скорость второго тела до, и после взаимодействия.

${\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}{v'_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}{v'_{2}}^{2}}{2}}.}$

Важно — импульсы складываются векторно, а энергии скалярно.

Вывод формул для конечных скоростей после столкновения

Зная начальные скорости и массы из законов сохранения можно вывести конечные скорости после столкновения. Покажем это на примере, когда два тела сталкиваются вдоль одной прямой. Законы сохранения энергии и импульса можно переписать как:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}m_{1}(\upsilon _{1}-\upsilon _{1}')=m_{2}(\upsilon '_{2}-\upsilon _{2})\\{m_{1}(\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{1}'^{2})=m_{2}(\upsilon _{2}'^{2}-\upsilon _{2}^{2})}\end{cases}}}}$

Делим одно уравнение на другое: ${\displaystyle {\frac {\upsilon _{1}^{2}-\upsilon _{1}'^{2}}{\upsilon _{1}-\upsilon _{1}'}}={\frac {\upsilon _{2}'^{2}-\upsilon _{2}^{2}}{\upsilon _{2}'-\upsilon _{2}}}}$ и получаем, что ${\displaystyle \upsilon _{1}+\upsilon _{1}'=\upsilon _{2}'+\upsilon _{2}.}$ Из этого уравнения выразим скорости после столкновения:

${\displaystyle \upsilon _{1}'=\upsilon _{2}'+\upsilon _{2}-\upsilon _{1}}$

${\displaystyle \upsilon _{2}'=\upsilon _{1}-\upsilon _{2}+\upsilon _{1}'}$

Подставим конечные скорости в закон сохранения импульса, получаем:

${\displaystyle m_{1}\upsilon _{1}+m_{2}\upsilon _{2}=m_{1}\upsilon _{1}'+m_{2}(\upsilon _{1}-\upsilon _{2}+\upsilon _{1}')}$

${\displaystyle m_{1}\upsilon _{1}+m_{2}\upsilon _{2}=m_{1}(\upsilon _{2}'+\upsilon _{2}-\upsilon _{1})+m_{2}\upsilon _{2}'}$

Выразим отсюда конечные скорости ${\displaystyle \upsilon _{1}'}$ и ${\displaystyle \upsilon _{2}'}$ :

${\displaystyle \upsilon _{1}'={\frac {2m_{2}\upsilon _{2}+\upsilon _{1}(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle \upsilon _{2}'={\frac {2m_{1}\upsilon _{1}+\upsilon _{2}(m_{2}-m_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}$

Абсолютно упругий удар в пространстве

В случае столкновения двух тел в пространстве скорость каждого тела может быть разделена на две перпендикулярные скорости: одна по общей нормали поверхности сталкивающихся тел в точке контакта, а другая параллельная поверхности столкновения. Поскольку сила удара действует только по линии столкновения, компоненты скорости, векторы которых проходят по касательной к точке столкновения, не изменятся. Скорости, направленные вдоль линии столкновения, могут быть вычислены с помощью тех же уравнений, что и столкновения в одном измерении. Окончательные скорости могут быть вычислены из двух новых компонентов скоростей и будут зависеть от точки столкновения.

Если предположить, что первая частица двигается, а вторая частица находится в состоянии покоя до столкновения, то углы отклонения двух частиц, θ₁ и θ₂, связаны с углом отклонения θ следующим выражением:

${\displaystyle \tan \vartheta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \vartheta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}}$

Величины скоростей после столкновения будут следующими:

${\displaystyle v'_{1}=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}},\qquad v'_{2}=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Двумерное столкновение двух движущихся объектов

В случае, когда оба тела движутся в плоскости, компоненты x и y скорости первого тела после соударения могут быть вычислена как:

${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}}$

где v₁ и v₂ скалярные величины двух первоначальных скоростей двух тел, m₁ и m₂ их массы, θ₁ и θ₂ углы движения, и маленькое Фи (φ)это угол соприкосновения. Чтобы получить ординату и абсциссу вектора скорости второго тела, необходимо заменить подстрочный индекс 1 и 2, на 2 и 1 соответственно.

Абсолютно неупругий удар

Абсолю́тно неупру́гий удар — удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело^[1]. Его скорость может быть найдена из закона сохранения импульса:

${\displaystyle m_{a}{\vec {v}}_{a}+m_{b}{\vec {v}}_{b}=\left(m_{a}+m_{b}\right){\vec {v}}}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}}$ это общая скорость тел, полученная после удара, ${\displaystyle m_{a}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{a}}$  — масса и скорость первого тела до соударения, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{b}}$  — масса и скорость второго тела до соударения. Важно отметить, что импульсы являются величинами векторными, поэтому складываются только векторно:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {m_{a}{\vec {v}}_{a}+m_{b}{\vec {v}}_{b}}{m_{a}+m_{b}}}}$ .

Как и при любом ударе, при этом выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии соударяемых тел в результате неупругих деформаций переходит в тепловую. В случае абсолютно неупругого удара механическая энергия уменьшается на максимально возможную величину, не противоречащую закону сохранения импульса. Данное утверждение можно принять за определение абсолютно неупругого удара в терминах энергии. При помощи теоремы Кёнинга легко показать, что в этом случае тела продолжают движение как единое целое: компонента кинетической энергии, отвечающая за движение центра масс всей системы соударяемых тел, должна остаться неизменной в силу закона сохранения импульса, а кинетическая энергия в системе отсчёта, связанной с центром масс, будет минимальной в том случае, когда тела в ней покоятся.

Хорошая модель абсолютно неупругого удара — сталкивающиеся пластилиновые шарики.

Реальный удар

При реальном соударении тел наблюдаются промежуточные варианты между случаем абсолютно упругого удара — отскока, и случаем абсолютно неупругого удара — слипания соударяющихся тел.

Степень близости соударения в случаю абсолютно упругого удара характеризуют коэффициентом восстановления ${\displaystyle k}$ . При ${\displaystyle k=0}$ удар является абсолютно неупругим, при ${\displaystyle k=1}$ удар является абсолютно упругим.

Пример для соударения

Пусть ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$  — скорости тел до удара, ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$  — скорости тел после удара, ${\displaystyle k}$ -коэффициент восстановления, ${\displaystyle S}$  — полный импульс удара. Тогда:

${\displaystyle v_{1}=u_{1}-(1+k){\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})}$ ,

${\displaystyle v_{2}=u_{2}+(1+k){\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})}$ ,

${\displaystyle S=(1+k){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})}$ .

Потеря кинетической энергии ${\displaystyle T}$ при ударе:

${\displaystyle T=(1-k^{2}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {(u_{1}-u_{2})^{2}}{2}}={\frac {1-k}{1+k}}\left[{\frac {m_{1}(u_{1}-v_{1})^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}(u_{2}-v_{2})^{2}}{2}}\right]}$ .

Для абсолютно неупругого удара ${\displaystyle k=0}$ : ${\displaystyle T={\frac {m_{1}(u_{1}-v_{1})^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}(u_{2}-v_{2})^{2}}{2}}}$ , то есть потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, что следует из теоремы Карно.

Для абсолютно упругого удара ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle T=0}$ . Значения коэффициента восстановления для некоторых материалов приведены в таблице.

Материал	Коэффициент восстановления
Стекло	${\displaystyle 0,94}$
Удар дерева о гуттаперчу	${\displaystyle 0,26}$
Дерево	${\displaystyle 0,5}$
Сталь, пробка	${\displaystyle 0,55}$
Слоновая кость	${\displaystyle 0,89}$

Кроме того, при реальном ударе макроскопических тел происходит деформация соударяющихся тел и распространение по ним упругих волн, передающих взаимодействие от сталкивающихся границ по всему телу.

Пусть сталкиваются одинаковые тела. Если c — скорость звука в теле, L — характерный размер каждого тела, то время удара будет порядка ${\displaystyle t=2L/c}$ - двукратному прохождению волны деформации вдоль линии соударения, что учтено множителем 2 соответствующем распространению волны в прямом и обратном направлении.

Систему сталкивающихся тел можно считать замкнутой, если импульс силы внешних сил за время соударения мал по сравнению с импульсами тел.

Кроме того, само время соударения должно быть достаточно мало, иначе при рассмотрении трудно оценить потери энергии на упругую деформацию за время удара, и при этом часть энергии расходуется на внутреннее трение, а само описание сталкивающихся тел становится сложным из-за существенного вклада внутренних колебательных степеней свободы.

В приведенном анализе необходимо, чтобы линейные деформации тел при ударе были существенно меньше, чем собственные размеры тел.

См. также

• Рассеяние частиц
• Взаимодействие многих тел

Примечания

Литература

• Сивухин Д.В. Механика. — М: Наука, 1979. — 520 с.