В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.
Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.
Малая теорема Пикара является частным случаем теоремы Ландау. Покажем, что, предположив, что целая функция выпускает два различных конечных значения и и не равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к противоречию на основе теоремы Ландау.
Рассмотрим функцию . Она голоморфна во всей плоскости, не принимает значений и и не равна тождественно постоянному. Следовательно, найдется такая точка — примем её за начало координат, в которой производная не равна нулю. Пусть разложение нашей функции в степенной ряд будет .
Так как функция голоморфна и не принимает значений и внутри круга произвольного радиуса : , то по теореме Ландау имеем .
Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число , а в правой — постоянное число .
Пусть функция голоморфна в проколотой окрестности точки и имеет в точке существенную особенность. Тогда принимает в все значения, кроме, быть может, одного.
Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .