WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в Евклидово пространство достаточно высокой размерности.

Формулировка

Всякое ${\displaystyle m}$ -мерное риманово многообразие ${\displaystyle (V^{m},\;g)}$ класса ${\displaystyle C^{r}}$ , ${\displaystyle 3\leq r\leq \infty }$ , допускает изометрическое ${\displaystyle C^{r}}$ вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для достаточно большого ${\displaystyle n}$ .

О доказательстве

Эта теорема получена в результате применения обобщения теоремы о неявной функции, так называемой теоремы Нэша — Мозера^[en]. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором ${\displaystyle L}$ , и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор ${\displaystyle L}$ локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения ${\displaystyle f:V^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ по внутренним координатам ${\displaystyle V}$ должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие ${\displaystyle V}$ , достаточно близкое к компактному риманову многообразию ${\displaystyle V}$ , допускающему свободное изометрическое вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , также допускает изометрическое вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение ${\displaystyle f:V\to \mathbb {R} ^{p}}$ . Пусть ${\displaystyle g_{1}<g}$ метрика индуцированная ${\displaystyle f}$ . Строится почти изометрическое вложение ${\displaystyle h:(V,\;g_{2})\to \mathbb {R} ^{q}}$ , ${\displaystyle g_{2}=g-g_{1}}$ , то есть вложение с индуцированной метрикой ${\displaystyle g'_{2}}$ произвольно близкой к ${\displaystyle g_{2}}$ (это выполняется с помощью конструкции, называемой скручиванием Нэша), после чего используем теорему Нэша — Мозера и получаем вложение ${\displaystyle f':V\to \mathbb {R} ^{p}}$ близкое к ${\displaystyle f:V\to \mathbb {R} ^{p}}$ с индуцированной метрикой ${\displaystyle g_{1}'=g-g_{2}'}$ . Эти два вложения дают изометрическое вложение:

${\displaystyle (f',\;h):V\to \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}=\mathbb {R} ^{p+q}}$ ,   ${\displaystyle (f',\;h)(x)=(f'(x),\;h(x))}$

Вариации и обобщения

• Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для ${\displaystyle C^{1}}$ -гладких вложений
• Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
• Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.^[2]
• Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений. Его также доказал Нэш, но существенно позднее.^[3]

Примечания

Литература

• Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.