WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Мура о фактор-пространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана Робертом Муром в 1925 году.

Формулировки

Пусть ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ — сюрьективное непрерывное отображение двумерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ на хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ . Предположим, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$ , а также его дополнение ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\}}$ связны. Тогда ${\displaystyle X}$ гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ , более того отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ есть предел гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ .

Вариации и обобщения

В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюрьекция ${\displaystyle f\colon M\to X}$ из многообразия ${\displaystyle M}$ на хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любого открытого множества ${\displaystyle U}$ , содержащего прообраз ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$ , можно найти замкнутое множество ${\displaystyle B}$ , гомеоморфное шару, такое что ${\displaystyle f^{-1}\{x\}\subset B\subset U}$ .

Литература

• R. L. Moore. Concerning upper-semicontinuous collections of continua (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1925. — Vol. 25. — P. 416–428.
• Daverman, Robert J. Decompositions of manifolds. — Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. — xii+317 с. — (Pure and Applied Mathematics, 124). — ISBN 978-0-8218-4372-7.