WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Манна — Вальда (англ. Mann–Wald theorem) или теорема о непрерывном отображении (англ. continuous mapping theorem, CMT) — положение теории вероятностей, которое утверждает, что непрерывные функции сохраняют предел даже в том случае, если их аргументы — последовательности случайных величин. Непрерывная функция в определении Гейне отображает сходящуюся последовательность в другую сходящуюся последовательность: если x_n → x, то g(x_n) → g(x). Теорема утверждает, что этот результат сохраняется и при замене детерминированной последовательности {x_n} на последовательность случайных величин {X_n}, а понятие сходимости для вещественных чисел — на один из типов сходимости случайных величин.

Теорема впервые доказана Манном и Вальдом в 1943 году^[1].

Формулировка

Пусть {X_n}, X — случайные элементы, определённые на метрическом пространстве S. Пусть функция g: S→S′ (где S′ есть другое метрическое пространство) разрывна в точках из множества D_g причём Pr[X ∈ D_g] = 0. Тогда^[2][3][4]

1. ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);}$
2. ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);}$
3. ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ g(X).}$

См. также

• Теорема Слуцкого

Примечания

Литература

• Анатольев, Станислав. Эконометрика для продолжающих. Курс лекций. — Москва, 2002.
• Amemiya, Takeshi. Advanced Econometrics. — Cambridge, MA : Harvard University Press, 1985. — ISBN 0-674-00560-0.
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. — John Wiley & Sons, 1969. — ISBN 0-471-07242-7.
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. — 2nd. — John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
• Mann, H. B.; Wald, A. (1943). “On Stochastic Limit and Order Relationships”. Annals of Mathematical Statistics. 14 (3): 217—226. DOI:10.1214/aoms/1177731415. JSTOR 2235800.
• Van der Vaart, A. W. Asymptotic statistics. — New York : Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-49603-9.