WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Бёрнсайда утверждает, что если группа ${\displaystyle G}$ конечна, и порядок её равен

${\displaystyle p^{a}q^{b},}$

где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$  — простые числа, тогда ${\displaystyle G}$  — разрешима. Следствие: каждая неабелевая конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.

История

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп, хотя доказательство без использования характеров группы было опубликовано Голдсмитом уже в 1970 году.

Схема доказательства Бёрнсайда

1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа ${\displaystyle G}$ данного порядка — абелева^[1].
2. По теореме Силова, группа ${\displaystyle G}$ имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера ${\displaystyle p^{r}}$ для некоторого ${\displaystyle r\geqslant 1}$ . В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle G}$ , она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент ${\displaystyle x}$ группы ${\displaystyle G}$ , такой что класс сопряжённости элемента ${\displaystyle x}$ имеет размер ${\displaystyle p^{r}>1}$ .
3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера ${\displaystyle \chi }$ группы ${\displaystyle G}$ такого, что ${\displaystyle |\chi (x)|=\chi (1)}$ .
4. Из простоты группы ${\displaystyle G}$ следует, что любое комплексное неприводимое представление характера ${\displaystyle \chi }$ верно (или точно), и отсюда следует, что ${\displaystyle x}$ принадлежит центру группы ${\displaystyle G}$ , что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Примечания

Литература

1. James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
2. Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.