WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.

Формулировка

Предположим, ${\displaystyle K}$ — выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений ${\displaystyle K}$ , то есть тело ${\displaystyle L}$ , ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

${\displaystyle \mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,}$

где ${\displaystyle u}$ — единичный вектор, ${\displaystyle u^{\perp }}$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная ${\displaystyle u}$ , а ${\displaystyle \mathop {S} }$ — площадь, точнее ${\displaystyle (d-1)}$ -мерный объём.

Тогда тело ${\displaystyle L}$ выпукло.

Следствия

• В ${\displaystyle d}$ -мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует ${\displaystyle (d-1)}$ -мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.

Ссылки

• Busemann, Herbert (1949). “[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1062952/ A theorem on convex bodies of the Brunn-Minkowski type]”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 35: 27—31. DOI:10.1073/pnas.35.1.27. PMC 1062952. PMID 16588849. Внешняя ссылка в |title= (справка на английском)
• Gardner, Richard J. (2002). “The Brunn-Minkowski inequality”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (electronic). DOI:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.